Voy a tratar de responder a la OP, describiendo en primer lugar la relación entre álgebras de Lie y la estructura de las constantes. Después de esto, voy a pasar a el problema de la integración de un determinado Mentira álgebra simple conectado Mentira grupo. Esto debería ayudar en la comprensión de la
relación entre la estructura constans y la Mentira de los grupos.
- En álgebras de Lie y la estructura de las constantes de
Deje $G$ ser una Mentira grupo y $\mathfrak g$ ser su Mentira álgebra. Nos restringimos al finito dimensionales caso por simplicidad. Deje $\{e_i\}$ ser una base de $\mathfrak g$ (a base de generadores infinitesimales para $G$): luego
$$[e_i,e_j]=f^k_{ij}e_k,$$
donde $f^k_{ij}$ son llamados a la estructura de las constantes de la Mentira de grupo $G$. Estamos partiendo de la convención sobre índices repetidos. Tenga en cuenta que, la elección de cualquier otra base $\{v_i\}$$\mathfrak g$, obtenemos la nueva estructura de las constantes de
$$[v_i,v_j]=\tilde{f}^k_{ij}v_k,$$
con
$$\tilde{f}^k_{ij}=A_{in}A_{jm}f^s_{nm}A^{-1}_{ks}$$
si $v_i=A_{in}e_n$.
Cualquier Mentira álgebra $\mathfrak g$ está determinado por su estructura constantes modulo las transformaciones $f^s_{nm}\mapsto \tilde{f}^s_{nm}$ dada de arriba; por lo que tales transformaciones determinar una relación de equivalencia. En resumen, cualquiera de los dos álgebras de Lie (de la misma dimensión) con la misma estructura de las constantes son isomorfos como álgebras de Lie.
- En la Mentira álgebras y grupos de Lie
La Mentira de álgebra $\mathfrak g$ captura de las propiedades locales de $G$, ya que necesita sólo el componente conectado de la identidad en $G$. Para responder a tu pregunta, entonces es necesario hablar de "local y global".
En el nivel local, uno tiene los teoremas fundamentales de la Mentira (yo no hable de ellos aquí).
En el nivel global, uno necesita un poco de trabajo. El teorema siguiente es debido a Cartan, y puede ser probada mediante Ado del teorema, o la de Levi-Malcev de descomposición. Se dice que
cada Mentira álgebra de dimensión finita sobre $\mathbb k = \mathbb R, \mathbb C$ es isomorfo a la Mentira de álgebra de Lie del grupo con algunos no trivial propiedades topológicas. Esta Mentira grupo es único hasta isomorphisms.
Teorema. Si $\mathfrak g$ es un álgebra de Lie de dimensión finita sobre $\mathbb k = \mathbb R, \mathbb C$, no está conectado simplemente conectado Mentira grupo $G$ tal que $\mathfrak g = \operatorname{Lie}(G)$. $G$ se determina de forma exclusiva hasta el isomorfismo.
Uno puede traducir el teorema anterior en la equivalencia de las categorías
a partir de la subcategoría de conectado simplemente conectado Mentira y grupos de la categoría de finito
dimensiones de álgebras de Lie sobre la base de campo.
En resumen, para cualquier conectados simplemente conectado Mentira grupo $G$ uno tiene un único (hasta isomorphisms) finito dimensionales Mentira álgebra $\mathfrak g$ isomorfo a $\operatorname{Lie}(G)$; esta Mentira álgebra está determinado por su estructura constantes como en el anterior.
