¿Es normal todo subgrupo de un subgrupo normal?
Es decir, si $H$ es un subgrupo normal de un grupo $G$ y $K$ es un subgrupo de $H$ entonces $K$ es un subgrupo normal de $G$ . ¿Es cierto? Si no es así, ¿cuál es el ejemplo?
Progreso
$a\in G$ y $k\in K$ . Entonces $k\in H$ , ya que $K\subseteq H$ .
Ahora, $aka^{-1}=k_1aa^{-1}=k_1\in K$ [desde $H$ es normal en $G$ , $ak=k_1a$ ]
Esto implica que $K$ es normal en $H$ .
¿Es correcto mi planteamiento?
El contraejemplo tonto es este: si $H$ no es normal en $G$ entonces tenemos $$H \not\lhd G\quad G\lhd G$$ De hecho, esto no tiene por qué ser cierto si $K$ mismo es normal en $H$ . Por ejemplo, en $S_4$ tenemos $$C_2 \lhd V_4\lhd S_4$$ pero $C_2\not\lhd S_4$ . (Aquí, $V_4 = \{(1), (12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ y $C_2 = \{(1), (12)(34)\}$ )
La falla en su argumento es tomar $ak = k_1 a$ donde $k_1\in K$ . El hecho de que $a\in G$ y $H \lhd G$ sólo le permite suponer que $k_1 \in H$ .
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El problema de tu prueba es que $H\lhd G$ sólo te da $k_1\in H$ en tu expresión, no $k_1\in K$ como usted afirma. Para ello necesitaría saber $K\lhd G$ pero eso es justo lo que querías demostrar (y que no es cierto en general).
2 votos
Este es el peligro de abreviar el razonamiento. Has omitido una calificación en tu explicación sobre $k_1$ : "Desde $H$ es normal en $G$ , $ak=k_1a$ para algunos $k_1 \in \ldots$ "