Un problema de cálculo del tensor

Question

Si el % de relación $a_{ij}u^iu^j=0$sostiene para todos vectores $u^i$ tal que $u^i\lambda_i=0$ $\lambda_i$ Dónde está un vector covariante determinado, demuestran que
$$a_{ij}+a_{ji}=\lambda_iv_j+\lambda_j v_i$$ where $ v_j$ es un vector covariante.

Estoy totalmente atrapado en este problema. ¿Cómo puedo solucionar este problema?

Answer 1

Permítanme darles algunas pistas en lugar de una solución completa. Parte del problema aquí es averiguar lo $v$ se supone debe ser. Con el fin de hacer esto usted puede tratar de adivinar y mirando algunos ejemplos y casos especiales. Así, en primer lugar supongamos que sus coeficientes son diagonales, es decir, $a_{ij} = 0$ si $i=j$. Supongamos que de alguna manera han encontrado ya $v$, y por tanto la relación $$a_{ii} = \lambda_iv_i.$$ Then it follows that $v_i = \lambda^ia_{ii}.$ Removing the diagonal assumption on the coefficients might make you then guess that $$v_i = \lambda^ka_{ki}.$$ Now you can just check whether or not your identity holds. In order to do this, first pick some vector $u$ so that $u^i\lambda_i = 0$. Does the identity hold for this $u$? Next, since $u$ is orthogonal to $\lambda$, by linearity it suffices (why?) to check that your identity holds for $\lambda$, i.e. you want to see whether or not the equality $$(a_{ij} + a_{ji})\lambda^i\lambda^j = (\lambda_iv_j + \lambda_jv_i)\lambda^i\lambda^j$$ es válido. Si es así, entonces el problema está completo!