Dado un % de espacio de Hausdorff compacto $X$, ¿existe un % de probabilidad $\mu$en X tales que el apoyo de $\mu$ $X$? ¿Esto es equivalente a decir, para cualquier unital comutativo C *-álgebra, podemos mostrar la existencia de un estado fiel?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Reto Meier
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En general, la respuesta es no.
Es tal vez más fácil de ver por su segunda pregunta: vamos a $\Omega$ ser una multitud innumerable y considerar la $C^*$-álgebra $B(\Omega)$ que consta de todos los delimitada complejo de funciones con valores en $\Omega$ (con el supremum de la norma). Si $\ell$ eran fieles estado, tendríamos que tener $\ell(1) \ge \sum_{\omega \in \Omega} \ell(1_{\{\omega\}})$ que es una innumerable suma de términos positivos y no puede ser finito. (También se puede pensar de $B(\Omega)$ $L^\infty(\Omega)$ a contar con la medida.)
Equivalentemente, vamos a $X = \beta \Omega$ ser el de Stone-Cech compactification de $\Omega$, donde damos a $\Omega$ la topología discreta. (Por lo $C(X) = B(\Omega)$.) A continuación, para cada $\omega \in \Omega$, $\{\omega\}$ está abierto en $X$. Por lo que cualquier medida en $X$ que cobra cada conjunto abierto debe tener el total de masa infinito. No puede ser $\sigma$-finito.
