Demuestra que cada divisor de $5^{(4n+1)}+5^{(3n+1)}+1 =$ $1 \pmod {10}$

Question

Demostrar que si $d$ divide $5^{(4n+1)}+5^{(3n+1)}+1$ para cualquier $n$ entonces $d =$ $1 \pmod {10}$ .

Se puede demostrar una afirmación similar, donde $d$ divide $(3^{(2n+1)}+1)/4$ para cualquier $n$ entonces $d =$ $1 \pmod {6}$ demostrando primero que si $-3$ es un residuo cuadrático $\pmod p$ entonces $p = 1 \pmod 3$ . Para la base $5$ expresión comenzaría mostrando que si $-5$ es un residuo cuaternario $\pmod p$ entonces $p = 1 \pmod {10}$ . Alguna ayuda para demostrar la afirmación original con base $5$ ¿expresión? ¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

Podemos restringir a los divisores primos $p$ . Estos deben ser impar, así que todo lo que tenemos que probar es $p\equiv1\pmod5$ . No podemos tener $p=5$ o bien. Ahora $$5a^4+5a^3+1\equiv0\pmod p$$ donde $a=5^n$ y así $$b^4+5b+5\equiv0\pmod p$$ donde $b$ es la inversa de $a$ modulo $p$ . Considere $f(x)=x^4+5x+5$ y que $\zeta$ sea una quinta raíz primitiva de la unidad. Sea $\eta=\zeta^2-\zeta$ . Entonces \begin{align} \eta^4&=\zeta^3-4\zeta^2+6\zeta-4+\zeta^4\\ &=-5\zeta^2+5\zeta-5=-5-5\eta. \end{align} Así, $f(\eta)=0$ y cualquier cero de $f$ genera el ciclotómico campo $K=\Bbb Q(\zeta)$ . Si $f(a)\equiv0\pmod p$ entonces $p$ se divide en $K$ . Como los primos que se dividen en $K$ son aquellos congruentes con $1$ modulo $5$ entonces $p\equiv1\pmod5$ .

Answer 2

Cada divisor de $5^{4n+1}+5^{3n+1}+1$ es impar, por lo que basta con demostrar que cualquier divisor primo impar de $5^{4n+1}+5^{3n+1}+1$ est $\equiv 1\pmod{5}$ . Ahora podemos considerar el campo de división de $f(x)=5x^4+5x^3+1$ en $\mathbb{F}_p$ para cualquier primo $p>5$ . Las raíces complejas de $f(x)$ vienen dadas por $$ \frac{1}{4}\left(-1\color{red}{\pm}\sqrt{5}\color{blue}{\pm} i\sqrt{2\left(1\color{red}{\pm}\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}\right) $$ Por lo tanto, si $p$ es un divisor de $5^{4n+1}+5^{3n+1}+1$ entonces $5$ es un residuo cuadrático $\!\!\pmod{p}$ y $p\mod{5}\in\{-1,1\}$ . Por otro lado, si $p\equiv -1\pmod{5}$ entonces $5x^4+5x^3+1$ factores en $\mathbb{F}_p$ como $5$ veces el producto de dos polinomios cuadráticos irreducibles. Resumiendo,

$$ p>5,\;\; p\mid 5^{4n+1}+5^{3n+1}+1\quad \Longrightarrow \quad p\equiv 1\pmod{5}$$

y la afirmación se deduce fácilmente.