¿Lo que ' s parar el derivado de $f(x)g(x)$ de $f(x)g'(x)$ del mismo?

Question

¿Qué soy yo no entender acerca de cómo trabajan los límites? Por favor ayúdame a entender lo que está mal con esta prueba.

$f$ $g$ son funciones diferenciables de $x$, y por lo tanto son continuo. \begin{align*} \frac d{dx}\left[ f(x)g(x)\right] &= \lim_{dx\to 0}\frac{f(x+dx)g(x+dx)-f(x)g(x)}{dx} &&\text{1. Definition of derivative}\\ &= \lim_{dx\to 0}\frac{f(x+dx)g(x+dx)}{dx}-\lim_{dx\to 0}\frac{f(x)g(x)}{dx} &&\text{2. Difference of limits}\\ &= \lim_{dx\to 0}f(x+dx) \lim_{dx\to 0}\frac{g(x+dx)}{dx}-\lim_{dx\to 0}\frac{f(x)g(x)}{dx} &&\text{3. Product of limits}\\ &= \lim_{dx\to 0}f(x) \lim_{dx\to 0}\frac{g(x+dx)}{dx}-\lim_{dx\to 0}\frac{f(x)g(x)}{dx} &&\text{4. Definition of continuity}\\ &= \lim_{dx\to 0}\frac{f(x)g(x+dx)}{dx}-\lim_{dx\to 0}\frac{f(x)g(x)}{dx} &&\text{5. Product of limits}\\ &= \lim_{dx\to 0}\frac{f(x)g(x+dx)-f(x)g(x)}{dx} &&\text{6. Difference of limits}\\ &= \lim_{dx\to 0}f(x)\lim_{dx\to 0}\frac{g(x+dx)-g(x)}{dx} &&\text{7. Product of limits}\\ &= f(x)\lim_{dx\to 0}\frac{g(x+dx)-g(x)}{dx} &&\text{8. Limit evaluated}\\ &= f(x)g'(x) &&\text{9. Definition of derivative}\\ \end{align*} tenga en cuenta que ya sé lo que es la regla del producto real y cómo probar, por lo que es no lo que estoy pidiendo. Pregunto por qué no funciona la prueba que escribí arriba.

Answer 1

Aviso que a menos $f(x) = 0$ o $g(x) = 0$,

$$\lim_{dx \to 0} \frac{f(x)g(x)}{dx}$$

no existe. Por lo tanto, ya hay un problema en la línea $2$.

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Dos comentarios:

• Hay un problema similar con el primer par de límites en la línea de dos; a menos que $f'$ o $g'$ tiene un cero en $x$, el límite no existe.

• Si los límites no existen, a continuación, que es precisamente la condición de que al menos una de las dos mitades de $f'g + g'f$ desaparecen (que también es sugestivo de donde el problema de la prueba está...).

Answer 2

Es verdad eso si existe $\lim_{x\to a}f(x)=F$ y $\lim_{x\to a}g(x)=G$ existe, entonces $\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=F+G$.

Sin embargo, no es legítimo pasar de $(1)$ $(2)$ como en el OP ya que ni el límite $\lim_{dx\to 0}\frac{f(x+dx)g(x+dx)}{dx}$ ni el % de límite $\lim_{dx\to 0}\frac{f(x)g(x)}{dx}$existe en general.

Podemos escribir, sin embargo,

$$\begin{align} \lim_{dx\to 0}\frac{f(x+dx)g(x+dx)-f(x)g(x)}{dx}&=\lim_{dx\to 0}\frac{f(x+dx)g(x+dx)-f(x+dx)g(x)}{dx}\\\\ &+\lim_{dx\to 0}\frac{f(x+dx)g(x)-f(x)g(x)}{dx}\\\\ &=f(x)g'(x)+g(x)f'(x) \end {Alinee el} $$

puesto que suponemos que ambas $f$ y $g$ son diferenciables.

Answer 3

Wow! Me parece increíble cómo de malo es esto.

Por pasos:

2. Mal, porque no se puede dividir el límite en términos distintos. Los dos términos que se han ambos son infinitas una cantidad finita dividida por $dx$.

3. No se puede separar la términos de productos fuera hasta que demuestre que los límites existen. Usted puede separar $g(x+dx)$ y consigue $f'(x)g(x)$ como su resultado final.

4-5. El que sacó $f(x+dx)$, eliminado el $dx$, y poner de nuevo, con el término siempre siendo infinito. Oy.

6. Se tomó dos infinitos términos y poner de nuevo juntos dentro de un límite.

7. El que sacó $f(x)$ y, aunque no contener $dx$, poner en un límite.

8. Usted tomó un límite con respecto a una variable ($dx$) que no existe.

9. Esto es correcto, suponiendo que el resultado de paso 8 es correcta, lo cual, por supuesto, no, no.

Answer 4

El segundo paso es absurdo. Los dos límites ambos tendría que existir para que esto sea válido.