Intuición detrás de los operadores de prisma para demostrar la invariancia de homotopía de homología

Question

Estoy tratando de entender la prueba de homotopy la invariancia de la inducida por los mapas en la homología. Sin embargo, realmente no entiendo la intuición detrás de esta prueba y, especialmente, lo que el prisma de los operadores (como se define en Hatcher, por ejemplo) representar exactamente. Debo tratar de tener una precisa intuición geométrica de lo que está sucediendo, o no? No he visto mucho de la descripción de la intuición detrás de esta prueba en Hatcher (donde generalmente intuición geométrica es enfatizada, creo), o en cualquier otro texto.

Gracias de antemano.

Answer 1

No he leído Hatcher, pero Prisma a volver a Eilenberg-Steenrod. La idea es simple, si $H(x,t)$ es un homotopy en $\Delta_p$ (suponemos por el momento es constante en el límite), entonces podemos ver $H$ como una función en el prisma $I\times \Delta_p$. Ahora el límite de la prisma puede ser pensado como la diferencia de la parte superior y la parte inferior, (los lados son constantes). Esto puede ser extendido a las sumas de las simplices. Y lo que demuestra que homotopy da una cadena homotopy que induce y isomorfismo.

Creo que el problema surge porque los $I\times \Delta_p$ ya no es un simplex. Aunque personalmente nunca he entendido realmente por qué esto es un gran problema ya que se puede easlily y escribir explícitamente un prisma como una suma de simplices.