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¿Mostrar (1+an)nk=ea(1a(a+k)2n)+o(1n) un entero no negativo fijo k n\to\infty?

Cómo mostrar (1+\frac{a}{n})^{n-k}=e^a(1-\frac{a(a+k)}{2n})+o(\frac{1}{n}) por un determinado número entero no negativo kn\to\infty?

Se sabe ya que el(1+\frac{a}{n})^{n}\to e^an\to\infty, pero no sé cómo lidiar con (1+\frac{a}{n})^{-k}. Podría alguien amablemente ayuda? Gracias.

http://sites.stat.psu.edu/~dhunter/asymp/fall2004/conferencias/edgeworth.pdf enter image description here

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Claude Leibovici Puntos 54392

A=\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n-k}\implies \log(A)=(n-k) \log\left(1+\frac{a}{n}\right) Now, Taylor series for large n \log\left(1+\frac{a}{n}\right)=\frac{a}{n}-\frac{a^2}{2 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right) \log(A)=a-\frac{a (a+2 k)}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)=a\left(1 -\frac{ (a+2 k)}{2 n}\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right) Now, using Taylor again % A=e^{\log(A)}=e^a-\frac{a e^a (a+2 k)}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)=e^a\left(1- \frac{a(a+2 k)}{2 n}\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right)

Me pregunto si puede existir un error tipográfico en el libro (k en lugar de 2k)

Editar

Usar a=10, k=100, n=10000, el valor "exacto" es A\approx 19832.024; la aproximación dada por encima da \frac{179 }{200}e^{10}\approx 19713.687 mientras que lo que se da en el libro da \frac{189 }{200}e^{10}\approx 20815.010.

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