¿Mostrar $(1+\frac{a}{n})^{n-k}=e^a(1-\frac{a(a+k)}{2n})+o(\frac{1}{n})$ un entero no negativo fijo $k$ $n\to\infty$?

Question

Cómo mostrar $(1+\frac{a}{n})^{n-k}=e^a(1-\frac{a(a+k)}{2n})+o(\frac{1}{n})$ por un determinado número entero no negativo $k$$n\to\infty$?

Se sabe ya que el$(1+\frac{a}{n})^{n}\to e^a$$n\to\infty$, pero no sé cómo lidiar con $(1+\frac{a}{n})^{-k}$. Podría alguien amablemente ayuda? Gracias.

http://sites.stat.psu.edu/~dhunter/asymp/fall2004/conferencias/edgeworth.pdf

Answer 1

$$A=\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n-k}\implies \log(A)=(n-k) \log\left(1+\frac{a}{n}\right)$$ Now, Taylor series for large $n$ $$\log\left(1+\frac{a}{n}\right)=\frac{a}{n}-\frac{a^2}{2 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ $$\log(A)=a-\frac{a (a+2 k)}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)=a\left(1 -\frac{ (a+2 k)}{2 n}\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ Now, using Taylor again $%$ $A=e^{\log(A)}=e^a-\frac{a e^a (a+2 k)}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)=e^a\left(1- \frac{a(a+2 k)}{2 n}\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$

Me pregunto si puede existir un error tipográfico en el libro ($k$ en lugar de $2k$)

Editar

Usar $a=10$, $k=100$, $n=10000$, el valor "exacto" es $A\approx 19832.024$; la aproximación dada por encima da $\frac{179 }{200}e^{10}\approx 19713.687$ mientras que lo que se da en el libro da $\frac{189 }{200}e^{10}\approx 20815.010$.