A=\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n-k}\implies \log(A)=(n-k) \log\left(1+\frac{a}{n}\right) Now, Taylor series for large n \log\left(1+\frac{a}{n}\right)=\frac{a}{n}-\frac{a^2}{2 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right) \log(A)=a-\frac{a (a+2 k)}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)=a\left(1 -\frac{ (a+2 k)}{2 n}\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right) Now, using Taylor again % A=e^{\log(A)}=e^a-\frac{a e^a (a+2 k)}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)=e^a\left(1- \frac{a(a+2 k)}{2 n}\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right)
Me pregunto si puede existir un error tipográfico en el libro (k en lugar de 2k)
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Usar a=10, k=100, n=10000, el valor "exacto" es A\approx 19832.024; la aproximación dada por encima da \frac{179 }{200}e^{10}\approx 19713.687 mientras que lo que se da en el libro da \frac{189 }{200}e^{10}\approx 20815.010.