7 votos

un ejemplo de un grupo no abeliano $G$ que contiene un subgrupo normal correcta $N$ tal que $G/N$ es abeliano.

¿Me pregunto si mi reclamación es correcta y cómo formalizar y escritura? Gracias.

Dar un ejemplo de un grupo no abeliano $G$ que contiene un subgrupo normal correcta $N$ tal que $G/N$ es abeliano.

Así que estoy pensando en el grupo diedro de triángulo, con rotaciones de $3$ y $2$ reflexiones. No es abeliano; pero si me rotaciones en cociente $3$, el grupo tiene sólo dos elementos, que deben ser abelian.

7voto

Andreas Blass Puntos 33024

Quizás el tipo más barato de ejemplo sería el producto directo de cualquier no-Grupo abeliano con cualquier grupo abeliano no trivial.

5voto

sholsinger Puntos 1570

Sí, tu ejemplo está bien. Es un caso especial del hecho de que $$ n / S_ _n \cong (\{\pm 1\} \times) $$ donde $n=3$.

Más generalmente, buscas un homomorfismo sobreyectiva de $G$ a un Grupo abeliano. Por el primer teorema de isomorfismo, $G$ modulo kernel será abelian. (Y por lo tanto el núcleo debe ser no trivial si $G$ es no abeliano)

4voto

Stefan Hamcke Puntos 16889

Uno de los ejemplos típicos es el grupo libre $F_2=\langle a\rangle*\langle b\rangle$ % dos generadores $a$y $b$. Hay un homomorfismo único $f:F_2\to\Bbb Z\times\Bbb Z$envío $a$ $(1,0)$ y $b$ $(0,1)$. El núcleo de $f$ es un subgrupo normal $N$, y por el primer teorema de isomorfismo tenemos un isomorfismo $F_2/N\cong\Bbb Z^2.$

3voto

rschwieb Puntos 60669

Tu idea está bien.

Recuerde que todos los grupos de orden cinco o menos son Abelian. Esto significa que cualquier no es sencillo, no del Grupo abeliano de orden 10 o menos es un ejemplo. (En realidad el más pequeño no simple Grupo abeliano tiene orden 60, por lo que es buenos para todos no Abelian grupos con orden de 10 o menos :))

Sugerencia para un ejemplo diferente: ningún no trivial subgrupo del grupo cuaternión.

3voto

Johannes Puntos 141

Un ejemplo sería $D_{2n}$: $$D_{2n}=\mathbb Z_n\rtimes\mathbb Z_2$ $

Si $D_{2n}=\langle a,x\rangle$ donde $\mathbb Z_n=\langle a\rangle\unlhd D_{2n}$ y $\langle x\rangle=\mathbb Z_2$ $D_{2n}$ es una extensión de $\langle a\rangle$ $\mathbb Z_2$.

Y otra podría ser $$T=\langle a,b\mid a^6=1, a^3=b^2=(ab)^2\rangle=\mathbb Z_3\rtimes\mathbb Z_4$$ of order $ 12$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X