¿Cuáles son las cosas básicas (acerca de cuándo y cómo) para tener en cuenta al proponer una conjetura en Matemáticas. Debe acompañar a los esfuerzos sólidos en la prueba. Cuando debe uno pensar en proponer una conjetura.Me gustaría saber algunos de estos detalles sólo por curiosidad.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Primero de todo, hay varias actitudes hacia las conjeturas. Permítanme describir dos de los más famosos casos antes de hacer algunas observaciones:
Me gustaría empezar con "Serre de la conjetura".
En su famoso papel Faisceaux Algébriques Cohérents (a menudo llamado simplemente FAC) el medallista Fields J.-P. Serre menciona un problema técnico específico:
Traducción libre:
Recordemos que, si $V = K^r$ (en cuyo caso $A = K[X_1,\cdots,X_r]$), no sabemos si existen finitely generado proyectiva $A$-módulos que no son libres, o, lo que equivale a lo mismo, si existen no trivial algebraica de vectores de paquetes con base $K^r$.
Aquí está el primer párrafo de T. Y. Lam libro titulado Serre de la conjetura (tomado de Springer LNM 635):
En P. 243 de su famoso artículo Faisceaux algébriques cohérents (FAC), Serre escribió: "En ignorar s il existe des $A$-módulos projectifs de tipo fini qui ne soient pas libres' ( $A = k[t_1,\ldots,t_n]$, $k$ un campo); poco después, la libertad de finitely generado proyectivas de los módulos a través de $k[t_1,\ldots,t_n]$ se hizo conocido en el mundo matemático como "Serre de la Conjetura". Serre podría haber objetado el hecho de que lo que él planteó fundamentalmente como un problema abierto se convirtió en su "conjetura" por el mundo aclamación, pero la fina distinción entre "Serre del Problema" y "Serre de la Conjetura", ahora puede ser de forma segura a la izquierda a la deliberación de la matemática historiador. Culminando casi veinte años de esfuerzo por algebraists, D. Quillen y A. Suslin demostrado de forma independiente, en enero de 1976, que finitely generado proyectivas de los módulos a través de $k[t_1,\ldots,t_n]$ son, en efecto, libre.
La segunda instancia me gustaría mencionar aparece en Wolfgang Lück del trabajo con frecuencia. Él es un aclamado internacionalmente topologist, cuyo trabajo reciente se centra alrededor de la Baum-Connes Conjeturas y preguntas relacionadas. Una búsqueda rápida en la página que contiene su lista de publicaciones revela que la palabra "conjetura" aparece no menos de 42 veces. Para ser justos, debo señalar que un buen número de ellos son títulos de charlas y conferencias nombres, pero sin embargo la palabra conjetura se utiliza muy a menudo en sus alrededores. Las conversaciones vi por él siempre se mencionan algunas de estas conjeturas y también resultó ser un par de casos.
He aquí una muestra aleatoria de su Inventiones papel de La relación entre la Baum-Connes Conjetura de Seguimiento y la Conjetura de
y un poco más abajo:
Esto debe ilustrar dos en lugar diametralmente opuestas actitudes de "conjeturas" por dos muy famosos matemáticos. Serre lugar relucantly señaló un problema abierto que fue considerado tan interesante que se convirtió en su conjetura, más para su consternación que a su alegría, debo añadir. Su resolución por Quillen sin duda contribuyó a su ganar la Medalla Fields, mientras que Suslin no lo reciben por razones algo claro para mí, pero eso es otra historia...
Por otro lado, Lück utiliza la palabra conjetura sobre una base diaria y las conjeturas que él habla y sus resultados relativos a ellos se consideran muy interesantes y rompedoras por muchas personas (incluido yo, por supuesto).
Tenga en cuenta, sin embargo, que tanto Lück y Serre se matemáticos conocidos en todo el mundo y más que merecidamente.
Para obtener más modestamente gente talentosa como tú y como yo creo que es mucho más adecuado a seguir Serre el ejemplo de contenido y de nosotros mismos apenas se insinuaba en problemas abiertos. Probablemente se trata de una apuesta más segura para asumir que ni usted ni a mí nunca frase una pregunta se considera importante, interesante y bastante difícil por muchas suficiente para obtener elevados a la categoría de conjeturas. Correr adelante y lanzar alrededor de conjeturas que no es, simplemente, una actitud apropiada creo. Pero eso es sólo una pieza de consejos no solicitados y mis dos centavos.
Hasta ahora, en realidad no he abordado su pregunta "¿cómo proponer una conjetura". Mi respuesta es simplemente: "no".
(Pero ver a Matt E la respuesta de razones por las que la formulación de conjeturas pueden ser justificados, adecuado y útil).
He aquí una breve explicación de mi consejo:
Para que una conjetura para ser tomado en serio un buen número de sociológica condiciones se deben cumplir:
- Usted debe ser tomado en serio por su audiencia.
- Usted debe saber de lo que estás hablando.
- Usted debe estar convencido de que la conjetura es un problema importante (no sólo debe tener en cuenta que es importante, pero otros deben ser de acuerdo).
- Usted debe estar seguro de que la conjetura es raro para producir tonto contra-ejemplos o ser confirmado de forma rápida y sencilla.
Si usted formular una conjetura, esto podría ser interpretado a decir que usted está pensando que todas estas condiciones se cumplen. Fuera de las razones de modestia creo que por eso es mejor que se abstenga de hacer de ellos, al menos tan largo como usted no ha alcanzado un cierto estatus de reconocimiento en su área de investigación.
Después de haber hecho algunas contribuciones de campo, probablemente estará en posición de juzgar si la formulación de una conjetura, en lugar de una pregunta o un problema que es apropiado o no, por ejemplo, por razones enumeradas por Matt E en su respuesta. No estoy en posición de dar algún consejo sobre que.
Añadido: joriki hecho un buen punto que merece ser mencionado más prominente:
[...] Estoy totalmente de acuerdo con sus ideas sobre la modestia. Sin embargo, parece que usted está tratando la palabra "conjetura" como sinónimo de "(potencialmente) famosa conjetura", "conjetura (potencialmente) nombrado después de que alguien". Creo que no es inmodesto para utilizarla en otro sentido, como en "Hay un claro patrón que sugiere la conjetura de que ... para todos los n." Que no tiene que suponer que usted piensa que esto es un problema que va a aumentar el interés de las generaciones de matemáticos y avanzar en matemáticas enormemente.
Por ejemplo, Popper utiliza la palabra en este sentido más mundano en su "Conjeturas y Refutaciones", por ejemplo: "El procedimiento real de la ciencia es operar con conjeturas: para saltar a conclusiones, a menudo después de una sola observación [...]."
Yo veo estos puntos y objeciones. No tengo mucho más que añadir o un objeto que ya no sé de Popper escritos muy bien. Gracias por la recaudación de este punto joriki.
Rajesh, por supuesto, seguir con esta interpretación, pero tome mi respuesta como una palabra de la advertencia de que algunas personas tienden a pensar que las conjeturas de la manera en que traté de expresar lo anterior. La palabra "conjetura" es cargado y es mejor prevenir que lamentar.
Permítanme mostrar un extracto del texto de Algunos Consejos sobre la Matemática Estilo por David Goss:
Voy a terminar recomendando la lectura de estos consejos (basado en observaciones por Serre) en su totalidad. Lea atentamente y piensa acerca de las cuestiones planteadas allí. Usted puede o no estar de acuerdo con todos los puntos, pero creo que debe ser rentable en cualquier caso.
user8269
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YequalsX
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320
Conjeturas desempeñar diferentes roles en diferentes áreas de las matemáticas. Mi impresión es que ellos parecen ser más comunes, y tal vez más aceptado como un modo de expresión matemática, en muy estructurados en áreas tales como la teoría algebraica de números, la geometría algebraica, y la topología algebraica. Mi propia experiencia es en las dos primeras áreas, y aquí hay muchos muy famoso abrir conjeturas: la hipótesis de Riemann, el Abedul---Swinnerton--Dyer conjeturas, la Tate conjeturas, la conjetura de Hodge, Langlands' conjeturas, la resolución de singularidades en el carácter $p$, y así sucesivamente. Muchos de ellos son nombrados después de los particulares de los individuos que la primera postula. No todo el mundo cree en su validez, pero muchos lo hacen, y ellos obtienen su legitimidad no sólo (o siquiera principalmente) de la talla de el nombre que están unidos, pero también del sentido que encajan bien con otros conocidos y los resultados esperados, y con las direcciones generales y los temas de investigación en el campo. Debido a la naturaleza altamente estructurada de estos campos, no es tan fácil encontrar nuevas declaraciones que encajan bien con lo que ya se sabe o se sospecha que ser verdad!
Por supuesto, la credibilidad de una hipótesis puede ser mejorada mediante la obtención de pruebas en su favor, pero algunas cosas son difíciles de calcular, y la credibilidad de una hipótesis se basa a menudo en otras consideraciones además de la verificación de los casos en particular. Como he indicado, un sentido de encajar bien dentro de la conocida marco de la asignatura, mientras que, simultáneamente, se extiende de este marco, en una nueva e interesante manera, es a menudo un criterio importante para una plausible e interesante conjetura.
Como para tomar las conjeturas de si mismo:
Diferentes personas de la vista de conjeturas con diferentes niveles de sacrosanctness, y este (así como de otras consideraciones) afecta su punto de vista sobre la sabiduría o de otra manera de hacer conjeturas.
Por ejemplo, en su respuesta, Theo sugiere que probablemente es mejor no hacer conjeturas a todos, principalmente por razones de modestia. Gerry Myerson sugiere que uno debe por lo menos estar demostrando buena teoremas en un área antes de hacer conjeturas, lo cual es sin duda el consejo sensato.
Mi propia opinión es la siguiente: creo que es bueno hacer conjeturas si usted sinceramente cree que ellos; ellos ayudan a enfocar (que uno es, y de otras personas) de investigación, y llamar la atención sobre lo que es importante en una determinada línea de investigación. Sin embargo, sólo en los intereses de no dañar la reputación de uno demasiado, probablemente no es sensato hacer una conjetura a menos que haya una muy buena sensación para el sujeto en cuestión (lo que significa que uno debe demostrar teoremas en el tema que están cerca de la arista de corte). Incluso cuando uno está a la vanguardia de la investigación, siempre hay una posibilidad de que la conjetura será incorrecto, debido normalmente a un malentendido o falta de conocimiento de algunos fenómenos y (contador)ejemplos. (Este es un riesgo ocupacional, de hacer conjeturas!)
Si uno sospecha que un determinado fenómeno puede ser cierto, pero es inseguro en la intuición, o no está seguro de si es siempre la verdad o lo que precisa la hipótesis podría ser, siempre se puede plantear una pregunta en su lugar, en vez de indicar un definitivo conjetura.
bentsai
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1886
Añadir a las respuestas anteriores, si uno está decidido a adquirir una conjetura, aquí está mi consejo.
- El punto más importante: Se pierde muy poco por el fraseo de una conjetura como un problema de investigación. No debe ser tangible ganancia antes de hacer un problema de investigación una conjetura (si alguien estaba pensando, es casi seguro que no va a ser el nombre de usted).
No sólo se necesita estar convencido de que su conjetura es importante, usted necesita demostrar su importancia. Típicamente, esto se hace por probar "Una respuesta afirmativa a la resolución de X implica la Conjetura Y es verdad", donde Y es por ejemplo, la publicación de un conjeturas, algunos son el resultado de cierta importancia, etc. Si usted no puede encontrar cualquier implicaciones importantes, entonces usted necesita para explicar por qué es importante en su propio derecho.
Si su conjetura de una importancia conjetura, entonces el riesgo de llegar huevo en su cara si es malo, y que su conjetura ignorado si es a la derecha.
Usted también necesita demostrar que usted ha hecho un intento serio de (a) comprobar la exactitud y (b) probar que:
- Intento de demostrarlo. Si sus intentos fallan, a continuación, poner en palabras, por qué se produce un error. Por ejemplo, "Si uno intenta resolver el Problema de X mediante el uso de Técnicas de a, B y C, entonces nos encontramos con [bla bla bla], lo que frustra el intento."
- Intentar demostrar la forma más fácil de los casos de la conjetura. De nuevo, si no, es mejor poner en palabras por qué sus intentos fracasaron. Hace la conjetura tiene alguna generalizaciones de que usted podría ser un caso especial?
- Si es relevante, el uso de un ordenador (o datos aleatorios, etc.) para comprobar que por tantos casos como sea posible.
Después de esto, mi consejo sería discutir a alguien (a través de la comunicación privada) que tenga conocimientos en el campo. Todavía no lo describen como una conjetura. Además, yo no inmediatamente molestar a un mundo-clase de expertos (a menos que se encuentren a su supervisor, amigo, etc.). Si les parece que vale la pena, considere la posibilidad de decirle a los demás.
Si continúa recibiendo buenos comentarios, entonces el próximo paso será la que se presente en por ejemplo, un seminario de investigación, o un local de la conferencia. De nuevo, asegúrese de que usted frase como una pregunta o un problema de investigación "P: ¿Es cierto que [bla bla bla]? He observado [X, y, Z], que parece sugerir que es verdadero." Esperar a preguntas como "¿has probado a, B y C?", que espero que usted sabe cómo responder a partir de su intento de probarlo.
Después, usted podría considerar la posibilidad de hablar de ello en una importante conferencia internacional (asumiendo que no tienen otra cosa mejor a la actualidad).
...y finalmente, después de soportar la prueba del tiempo, es probablemente mejor sólo tiene que llamar a un problema de investigación.
