¿Es $Ext^1(A,B)\cong\mathbb{Z}/2$ lo suficiente como para mostrar dos módulos indescomponible son isomorfos?

Question

Os quiero enseñar dos $R$-mdoules $X,\,Y$ son isomorfos. He mostrado que en las siguientes secuencias exactas cortas, ambos existen

$0\to B\to X\to A\to 0$ y $0\to B\to Y\to A\to 0$.

En otras palabras, $X,\,Y\in Ext^1(A,\,B)$. He también mostrado $Ext^1(A,\,B)\cong\mathbb{Z}/2$ y $X,\,Y$ son ambos indescomponible. ¿Es esto suficiente para deducir que $X\cong Y$ puesto que son ambos en la misma clase no trivial del $Ext^1(A,\,B)$? O ¿es necesario construir un homomorfismo explícita $\varphi:X\to Y$ tal que conmuten sus secuencias exactas cortas?

Answer 1

$X,Y \in \operatorname{Ext}^1(A,B)$ no es lo que quieres decir.

Si las dos secuencias exactas cortas representan el mismo elemento de $\operatorname{Ext}^1(A,B)$ entonces son equivalentes como secuencias exactas cortas, que significa que hay mapas $$\begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & B & \to & X & \to & A & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 &\to & B & \to & Y & \to &A & \to & 0 \end{matriz} $$ donde los mapas vertical exteriores son identidades. Por el lema cinco el mediano vertical mapa es un isomorfismo.