Creo que podría haber encontrado un primer algoritmo de generador de números, pero todavía no estoy muy seguro, tal vez este es un ya conocido de la propiedad de cuadrado perfecto números, tal vez no, pero parece increíble y me gustaría saber que es el aspecto lógico o no, o un contraejemplo si es malo. Así que por favor les agradecería una revisión de la misma.
¿Cómo puedo encontrarlo?
Mientras estudiaba las propiedades de un cuadrado perfecto números, me llegó a través de una observación acerca de cómo algunas cuadrado perfecto números fueron capaces de generar números primos cuando se añade a la anterior o a la siguiente cuadrado perfecto. Específicamente sólo los cuadrados perfectos de un número natural $n = 5k$, $k\in\mathbb N$, en otras palabras, los cuadrados perfectos que termina con "$00$" o "$25$", son capaces de generar números primos cuando se añade a la anterior o a la siguiente cuadrado perfecto, y, por supuesto, que sólo ocurre a veces.
Me he centrado en aquellos que son capaces de generar dos números primos, con el anterior y el siguiente cuadrado perfecto.
Por ejemplo, estas dos muestras para $n=5k$:
$n=5^2+(5-1)^2=25+16 = 41$ (prime)
$n=5^2 + (5+1)^2=25+36 = 61$ (prime)
y
$n=30^2+(30-1)^2=900+841 = 1741$ (prime)
$n=30^2+(30+1)^2= 900 + 961 = 1861$ (prime)
...a la distancia entre los números primos $4k$
Desafortunadamente, no hay una regla clara de por qué algunos de los cuadrados perfectos sólo termina con "00" o "25" son capaces de obtener los números primos.
Por esa razón, yo quería aprender más acerca de la función que están generando los mencionados resultados, los cuales se $f_1=x^2+(x+1)^2$$f_2=x^2+(x-1)^2$, pero aplicado a $x = 5*k$ y hubo una gran sorpresa en los resultados de ese estudio.
El primer algoritmo de generador de números (sólo genera números primos):
Primero escribí las mismas funciones en sustitución de $x = 5k$:
$f_1(k)=50k^2+10k+1$ $f_2(k)=50k^2-10k+1$
Yo sólo quería saber la relación entre el$k, f_1(k)$$f_2(k)$, lo empecé a jugar con la aritmética modular, era más fácil que usar la primera $f_2$, el cálculo de algunos de congruencia de la serie de la siguiente manera:
1) (cambio $s=1$) Calculado a la congruencia de la serie $[f_2(k+1) \bmod k]$ para un rango de $K [1..k]$, y me enteré de que sólo hay dos $k$ números cuya congruencia es $0$, uno de ellos es $k=1$ y el otro era un número primo, $k=41$.
2) (cambio $s=2$), Entonces, me hizo el mismo cálculo de la congruencia de la serie, pero cambiando un número a la derecha, así que ahora he calculado la congruencia de la serie $[f_2(k+2) \bmod k]$ todos los $k$, y de nuevo los dos k números congruentes con $0$ se $k=1$ y en este caso, un nuevo prime, $k=181$.
3) (cambio $s$) amplié el cálculo de la congruencia de la serie cambio de $s=3$ $s=50000$a la derecha, y siempre en la congruencia de la serie asociada a la actual $s$, el no triviales (creo $k=1$ la solución trivial) $k$ número que es congruente con $0$ es siempre un número primo, cuando he sido capaz de encontrar que el número de los límites del rango de número de $K [1..k]$ estoy usando para las pruebas(*).
(*) A veces no puedo encontrar el primer número, ya que, dependiendo del turno $s$, $0$ congruentes primer número aparece más adelante, porque puede ser muy grande, y no aparece en mi actual definidas $K[1..k]$ (de mi Python código de prueba) o sería posible también que para ciertos valores no hay 0 congruentes número en la congruencia de la serie.
Mi prueba de rango $K[1..50000]$ $S[1..50000]$ y fue capaz de encontrar a $40357$ números primos dentro de la $K$ gama, pero para algunos de $S$ de los valores, el primer número aún no aparece en el interior de la $K$ rango (en este caso de prueba $S=50000$ $50000 - 40357 = 9643$ primos no se encuentran para un determinado $s$ valor de desplazamiento, pero no hay contraejemplos son así).
Así que de acuerdo a los resultados, parece posible generar una lista de números primos mediante el cálculo de $f_2(k+s)$ dentro de un rango específico de $K [1..k]$ y encontrar la primera no trivial $0$ congruentes $k$, que resulta ser un número primo, aplicando para un cambio $S [1..s]$ (**).
Cada una de las $[f_2(k+s) \bmod k]$ de la congruencia de la serie proporciona un número primo para el final de la lista de números primos (cuando el primer número que es congruente a 0 se encuentra en el interior de K).
(**)Yo no hice la instalación de la f1, pues es más fácil trabajar con la tecla f2.
La que genera números primos de la lista tiene elementos repetidos, y los números primos aparecen desordenadas, pero parece que sólo proporcionan los números primos dentro de la gama de $K[1..k]$.
Los primeros k elementos de la lista son (por $s=1,2,3,\ldots$):
$k=41,181,421,761, 1201, 1741, 2381, 3121, 17, 13, 13, 73, 53, 9661, 17, 12641, 14281,$ etc.
En el rango de $S[1..50000], K[1..50000]$, la mayor prime encontrado es $489061$ y los primos más pequeños es $13$, y al parecer desordenada a lo largo de los cambios de $S$.
No he podido encontrar ninguna referencia en OEIS.
Estoy tratando de entender por qué funciona, pero es muy prometedor. He escrito el algoritmo con el código de Python aquí.
Por favor, si alguien tiene algunas ideas acerca de por qué el algoritmo está trabajando (o si hay un contraejemplo que no he visto o estoy haciendo algo mal), por favor hágamelo saber, se ve muy interesante.
Me pregunto si esto es nuevo o de alguna manera era ya conocido, o estoy totalmente equivocado. Gracias!
