Cómo mostrar que las raíces de $-x^3+3x+\left(2-\frac{4}{n}\right)=0$ son reales (y cómo encontrarlos)

Question

Estoy tratando de encontrar las tres y las raíces reales de $$-x^3+3x+\left(2-\frac{4}{n}\right)=0,$$

donde $n>0$ (podríamos decir $n\geq 2$ si eso ayuda), pero no soy capaz de llegar muy lejos:

Usando la notación de la Wikipedia-la página, me parece que el discriminante es $$\Delta=27\cdot 4\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right),$$ lo que da

$$C=3\left( 1-\frac{2}{n} \pm 2 i \sqrt{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}} \;\right)^{1/3},$$

el cual es utilizado para encontrar $x$, como $$x=\frac{C}{3}+\frac{3}{C}.$$

Dos cosas me confundan:

1. $C$ se ve como un no-número real, sino $x$ debe ser real (desde $\Delta >0$). ¿Cómo se puede reducir aún más la expresión de $x(C)$ a mostrar que la parte imaginaria es cero? Estoy teniendo problemas para la evaluación de que la raíz cúbica.
2. Cuando uso mi expresión de $x(C)$ en Mathematica y evaluar numéricamente para algunos $n$, que sólo encuentran una de las tres soluciones que Mathematica encuentra si acabo de preguntar a dar las raíces de la ecuación original (el cambio de signo en $C$, es decir, el $\pm$, ni siquiera se dan dos soluciones diferentes). Qué he hecho yo para excluir a las otras dos soluciones (o simplemente Mathematica excluyendo ellos de alguna manera)?

Contexto:

En realidad, sólo estoy tratando de encontrar la raíz de donde $-1\leq x\leq 1$. Estoy tratando de resolver (la primera) que es parte del sistema de ecuaciones que he resuelto numéricamente con el fin de hacer esta respuesta analíticamente, por lo que puedo jugar con el límite de la expresión (como $n\rightarrow \infty$).

Gracias.

Answer 1

Para el cálculo de las raíces de la depresión cúbicos $$ y^{\,3} + p\,y + q = 0 $$ donde $p$ $q$ son reales o complejos, Yo personalmente adoptar un método indicado en este trabajo por A. Cauli, por lo que poner $$ u = \sqrt[{3\,}]{{ - \frac{q} {2} + \sqrt {\frac{{p^{\,2} }} {4} + \frac{{p^{\,3} }} {{27}}} }}\quad v = - \frac{p} {{3\,u}}\quad \omega = e^{\,i\,\frac{{2\pi }} {3}} $$ donde por parte de los radicales de tomar un valor, real o el primer complejo (pero no importa cual) luego de calcular las tres soluciones como: $$ y_{\,1} = u + v\quad y_{\,2} = \omega \,u + \frac{1} {\omega }\,v\quad y_{\,3} = \frac{1} {\omega }\,u + \omega \,v $$ En tu caso: $$ y^{\,3} - 3\,y - 2\left( {\frac{{n - 2}} {n}} \right) = 0 $$ obtenemos $$ \frac{{p^{\,2} }} {4} + \frac{{p^{\,3} }} {{27}} = \left( {\frac{{n - 2}} {n}} \right)^{\,2} - 1 = - 4\frac{{\left( {n - 1} \right)}} {{n^{\,2} }} < 0 $$ lo que confirma que hay tres soluciones reales, y $$ \begin{gathered} u = \sqrt[{3\,}]{{\frac{{n - 2}} {n} + i\,\frac{2} {n}\sqrt {\left( {n - 1} \right)} }} = \frac{1} {{\sqrt[{3\,}]{n}}}\;\sqrt[{3\,}]{{n - 2 + i\,2\sqrt {\left( {n - 1} \right)} }} = \hfill \\ = \frac{1} {{\sqrt[{3\,}]{n}}}\;\sqrt[{3\,}]{{n\,e^{\,i\,\alpha } }} = e^{\,i\,\alpha /3} \quad \left| {\,\alpha = \arctan \left( {\frac{{2\sqrt {\left( {n - 1} \right)} }} {{n - 2}}} \right)} \right. \hfill \\ v = - \frac{p} {{3\,u}} = \frac{1} {u} = e^{\, - \,i\,\alpha /3} \hfill \\ \end{reunieron} $$ con el entendimiento de que para $n=1,\; 2$, $\alpha= \pi , \; \pi /2$, es decir, que usamos los 4 cuadrantes $arctan$.
Así que en conclusión, para $0<n$, tenemos: $$ \left\{ \begin{gathered} y_{\,1} = e^{\,i\,\alpha /3} + e^{\, - \,i\,\alpha /3} = 2\cos \left( {\frac{\alpha } {3}} \right) \hfill \\ y_{\,2} = e^{\,i\,\alpha /3 + 2\pi /3} + e^{\, - \,i\,\alpha /3 - 2\pi /3} = 2\cos \left( {\frac{{\alpha + 2\pi }} {3}} \right) \hfill \\ y_{\,3} = e^{\,i\,\alpha /3 - 2\pi /3} + e^{\, - \,i\,\alpha /3 + 2\pi /3} = 2\cos \left( {\frac{{\alpha - 2\pi }} {3}} \right) \hfill \\ \end{reunieron} \right. $$ Sobre el rango abarcado por las soluciones, aparte de $n=1$ donde obtenemos las soluciones de (1,-2,1), entonces para $2 \le\; n$ hemos $$ \frac{{\alpha (n)}} {3}\quad \left| {\;2 \leqslant n} \right.\quad = \frac{1} {3}\arctan _{\,4\,Q} \left( {n - 2,\;2\sqrt {\left( {n - 1} \right)} } \right) = \left\{ {\frac{\pi } {6},\frac{\pi } {{7.66}},\; \cdots } \right\} $$ lo que significa: $$ \left\{ \begin{gathered} \quad \quad 2 \leqslant n \hfill \\ 0 < \frac{{\alpha (n)}} {3} \leqslant \frac{\pi } {6}\quad \Rightarrow \quad \sqrt 3 \leqslant y_{\,1} < 2 \hfill \\ 2\frac{\pi } {3} < \frac{{\alpha (n)}} {3} + 2\frac{\pi } {3} \leqslant \frac{5} {6}\pi \quad \quad \Rightarrow \quad - 2 < y_{\,2} \leqslant - \sqrt 3 \hfill \\ - 2\frac{\pi } {3} < \frac{{\alpha (n)}} {3} - 2\frac{\pi } {3} \leqslant - \frac{\pi } {2}\quad \quad \Rightarrow \quad - 1 < y_{\,3} \leqslant 0 \hfill \\ \end{reunieron} \right. $$

Answer 2

$C/3$ tiene valor absoluto $1$, lo $3/C=(C/3)^{-1}=\overline{C/3}$, por lo $x=(C/3)+\overline{C/3}=2\operatorname{Re}(C/3)$ es real.

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Desde $(C/3)^3=(1-\frac{2}{n})\pm i\cdot(2\sqrt{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}})$, se utiliza la definición de los valores absolutos para obtener

$$|C/3|^6=|(C/3)^3|^2=(1-\frac{2}{n})^2+4\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)=1$$ y, por tanto,$|C/3|=1$.

En cuanto a cómo calcular el $C$ $x$ más directamente: En la definición de raíz cuadrada que necesitamos no es una raíz cúbica, por lo que tenemos que escribir $C$ en forma polar: Decir $C/3=e^i\theta$. El signo de $\pm$ en la definición de $C$ será el mismo que el signo de $\theta$.

A continuación,$x=C/3+3/C=2\operatorname{C/3}=2\cos(\theta)$. Desde $\cos$ es aún, el signo de $\theta$ (que es el signo que nos elija a la hora de calcular $C$) no importa.

Ahora para calcular el $\theta$: Busca en las partes real e imaginaria de $1-\frac{2}{n}+2i\sqrt{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}$, obtenemos $$C/3=\left(e^{i\arctan\left(\frac{2\sqrt{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}}{1-\frac{2}{n}}\right)}\right)^{1/3}=\left(e^{i\arctan\left(\frac{2\sqrt{n-1}}{n-2}\right)}\right)^{1/3}=e^{i\frac{\arctan\left(\frac{2\sqrt{n-1}}{n-2}\right)}{3}}$$ por lo $\theta=\frac{\arctan\left(\frac{2\sqrt{n-1}}{n-2}\right)}{3}$ obras, en cuyo caso $x=2\cos\frac{\arctan\left(\frac{2\sqrt{n-1}}{n-2}\right)}{3}$.

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Como para las otras raíces. Denotar por $p(x)$ inicial de polinomios. Las derivadas de los polinomios es $-3x^2+3$, por lo que los máximos y mínimos se alcanzan en $\pm 1$.

Por lo $p(x)$ comienza (de "muy negativos" los números) de gran tamaño, y disminuye hasta que llega al primer mínimo local, en el que $$p(-1)=-(-1)^3+3(-1)+\left(2-\frac{4}{n}\right)=-\frac{4}{n}$$ por lo que debe haber pasado por una raíz en algún momento.

Después de $-1$, $p(x)$ comienza a aumentar hasta que se obtiene el máximo local en a $x=1$, en el que $$p(1)=-1^3+3(1)+\left(2-\frac{4}{n}\right)=4-\frac{4}{n}\geq 0$$ así que habrá otra raíz en $(-1,1]$ (más precisamente, $1$ será un doble raíz iff $n=1$, y si $n\neq 1$ habrá otra raíz estrictamente en $(-1,1)$).

Después de eso, $p(x)$ disminuye todo el camino a $-\infty$, caso en el cual deberá necesariamente pasar a través de otra raíz (si $n\neq 1$).

En fin, esto demuestra que $p(x)$ tiene tres raíces reales. Uno de ellos es encontrado por el procedimiento anterior, y después calculamos que simplemente podemos descomponer $p(x)$ como producto de una lineal y una cuadrática, y resolver la ecuación cuadrática.