Buscar $\,\,e^{-1/4}\,$ $0.0002$

Question

Yo estoy usando el de Taylor de la Desigualdad para resolver este problema, pero esta fórmula (página 607) está poniendo de los nervios y de los libros de texto no hacen un buen trabajo de explicar cómo se realiza este problema y me he ido a khanacademy y patrickjmt y ellos no me ayudan.

Pero voy a tratar de interpretar el problema de todos modos. Sé que M es el valor máximo para el enésimo término quiero, pero añadía otro. El resto debe ser menor o igual a $.0002$, lo $R_n(x) \leq .0002$. Supongo que el valor máximo de M $1$ pero no estoy seguro. No sé cómo resolver por lo que n es entonces. Yo conozco la expansión en series de Taylor para$e^x$, pero aunque no sé en qué plazo debo parar. Por favor ayuda? Estoy muy frustrado.

Answer 1

Tenemos %#% $ #% esto es una serie alterna con sumandos marcas de verificación disminuye en valor absoluto. Por lo tanto, el error será lo menos que el primer sumando se le cae. Es decir, si usted calcular la aproximación $$ e^{-1/4}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{4^nn!}.$ $ el error será $$ e^{-1/4}\approx \sum_{n=0}^N\frac{(-1)^n}{4^nn!},$. Nota que ya lleva $<\frac{1}{4^{N+1}(N+1)!}$ $N=3$. Por lo tanto la aproximación $\frac{1}{4^{N+1}(N+1)!}\approx 0.00016$ $ es suficiente para su propósito.

Answer 2

Es más fácil si aprovechamos el hecho de que la serie de $e^{-1/4}$ es una Alternancia de Serie. Pero en lugar de eso vamos a utilizar la más difícil de trabajar, y, en general menos útil, la desigualdad del texto.

Supongamos que el último término que usamos en la aproximación es $\dfrac{x^n}{n!}$ donde $x=-\dfrac{1}{4}$.

Entonces el error es $\dfrac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}x^{n+1}$, donde todo lo que sabemos acerca de la $z$ es que es entre el$-\frac{1}{4}$$0$.

Ahora, cualquier derivado de la $e^t$, incluyendo la $(n+1)$-th, es $e^t$. Así que queremos estimar $e^z$. Desde $z$ entre $-\frac{1}{4}$$0$, podemos decir con seguridad que a $e^{-1/4}\lt e^z\lt e^0=1$.

Así que para asegurarse de que nuestro error tiene valor absoluto menos de $\dfrac{1}{(n+1)!}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}$.

Hacer esto a menos de $0.0002$. Debido a de la $(n+1)!$, la desigualdad es desagradable para atacar de manera algebraica. Así que sólo el tonto. Intente $n=3$. Funciona! Trate de ser más barato, el uso de $n=2$: la desigualdad no se cumple, por lo $n=2$ puede no ser lo suficientemente bueno.

Answer 3

Primero tenga en cuenta que la serie es %#% $ #%

Cuando $$e^x=1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\dots$ es negativo la serie es una serie convergente alternante y [una vez que los términos van disminuyendo en magnitud] el error es como máximo la magnitud del último término que uso (también del primer término que no se usa).

$x$

Cuenta que el término $0.0002=\frac 1{5000}$ % denominador $x^3$que es un poco menos de 400. El término $64\times 6$ tiene denominador un poco bajo $x^4$

Así que con seguridad puede terminar en el término de $16 \times 400 =6400 \gt 5000$.