En general, es posible, por ejemplo, para calcular cuál es la probabilidad de contenido en una bola de $\mathcal{B}(c,r)$. Supongo que su gaussiano mezcla escribe
$$p(x) = \sum_{j=1}^K \mathcal{N}(x;\mu_j,\Sigma_j)\mathbb{P}(J=j)$$
Existen primaria piezas de código para hacer un algoritmo para calcular $F(c,r)=\int_{\mathcal{B}(c,r)} p(x)dx $ por cada $(c,r)\in \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^+$ que detallaré más. Primera nota de que desde un fijo $c$, la función de $r\mapsto F(c,r)$ es el aumento en $\mathbb{R}^+$ luego de una búsqueda por la dicotomía puede resolver numéricamente el problema de encontrar $r$ tal como, para un determinado $c$, $F(c,r)=95\%$. Los métodos más eficaces, tales como la secante método de existir.
Para manejar el caso general, si las matrices $\Sigma_j$ no tienen ninguna forma en particular, excepto que son positiva definida, puede que tenga que usar [enlace de wikipedia para el general no central de la chi cuadrado acumulativas de función][1]. Para este propósito, el código fuente de C será útil [código fuente de Robert Davies sitio web][2]. Usted encontrará lo relacionado con la documentación [en Robert Davies' de la página] de[3] y en su papel [de La Distribución de una Combinación Lineal de Chi-Cuadrado de las Variables Aleatorias][4] en el que se adopta la misma símbolos.
Si las matrices $\Sigma_j$ cada uno proporcional a la matriz de identidad, usted puede utilizar cualquiera de los ya mencionados generalizada no centrales de la chi cuadrado acumulativas de función o la no centrales de la chi cuadrado acumulativa de la función que es el más común (ver [No Centrales de la Chi Cuadrado de la Ley][5]). Esta función está disponible en MATLAB, por ejemplo.
Ahora, aquí es cómo usted puede utilizar.
$$p(x) = \sum_{j=1}^K \mathcal{N}(x;\mu_j,\Sigma_j)\mathbb{P}(J=j)$$
es la densidad de una variable a la que llamamos $X_J$ donde para cada una de las $i \in \{1,...,K\}$, la variable $X_i$ es una gaussiana variable aleatoria que tiene una función de densidad de probabilidad dada por $\mathcal{N}(x;\mu_j,\Sigma_j)$ e donde: $J$ es aleatorio discreto de la variable en el conjunto de $\{1,...,K\}$ independiente de cada una de las $X_i$, y que sigue la conocida ley de $\mathbb{P}(J=j)$.
Desde que podemos descomponer la probabilidad
$$\int_{\mathcal{B}(c,r)} p(x)dx = \mathbb{P}\left(X_J \in \mathcal{B}(c,r) \right) = \sum_{j=1}^K \mathbb{P}\left(X_J \in \mathcal{B}(c,r) |J=j\right)\mathbb{P}(J=j)$$
Lo que tenemos que calcular es $\mathbb{P} \left(X_J \in \mathcal{B}(c,r) |J=j\right)=\mathbb{P}\left(\|X_j-c\|^2 \leq r^2 \right)$.
Desde $X_j-c$ es una gaussiana variable aleatoria que sigue a $\mathcal{N}(x;\mu_j-c,\Sigma_j)$, $\|X_j-c\|^2$ sigue un (generalizada no central) chi-cuadrado de la ley.
Algunas derivaciones que se debe hacer para identificar los parámetros ( $\theta_j$ ) de la presente ley. (No puedo ser más explícito en la demanda).
Entonces la única cosa que realizar es la evaluación de la Chi Cuadrado de la función acumulativa ( $S$ ) chi-cuadrado de ley en $r$.
Finalmente :
$$F(c,r)=\int_{\mathcal{B}(c,r)} p(x)dx =
\sum_{j=1}^K S(r;\theta_j)\mathbb{P}(J=j) $$
Entonces, se puede aplicar una dicotomía o una secante método para encontrar la mejor aproximación a $r$ que ensusres $\mathcal{B}(c,r)$ a que contienen un 95%.
Si usted está en el caso particular donde las matrices $\Sigma_j$ son diagonales, entonces usted puede encontrar una región rectangular. Por rectángulo, me refiero a un dominio, que es un producto cartesiano de los intervalos. Usted necesitará el erf función, que es la relativa a la función acumulativa de una función de densidad de probabilidad gaussiana.
Para responder a otra pregunta publicado : La unión de los contornos que contiene es exactamente o más de 95% si cada contorno contiene un 95% de probabilidad.
Aquí es por qué. Deje $E_i$ ser el contorno como $\mathbb{P}(X_i \in E_i)=95\%$ y deje $\bigcup_{i=1}^K E_i $ ser la unión de los contornos, a continuación,
$$ \int_{ \bigcup_{i=1}^K E_i} p(x)dx = \mathbb{P}\left(X_J \in \bigcup_{i=1}^K E_i\right)$$
$$= \sum_{i=1}^K \mathbb{P}\left(X_J \in \bigcup_{i=1}^K E_i |J=j\right)\mathbb{P}(J=j)$$
en la que cada término $\mathbb{P}\left(X_J \in \bigcup_{i=1}^K E_i \Big| J=j \right) \geq 95\%$. Finalmente, debido a que $\mathbb{P}(J=j)$ sumas a 1, esta última línea es un promedio ponderado de los valores de mayor a 95%, con lo que la suma es mayor de 95%.
