Intuición para $\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^6 - 9x^3}-x^3$

Question

Tratando de conseguir algo de intuición detrás de la razón: $$ \lim_{x\to\infty}\sqrt{x^6-9x^3}-x^3=-\frac{9}{2}. $$

En primer lugar, ¿cómo se podía calcular esto? He intentado tal vez la factorización de un $x^3$ desde el interior de la raíz cuadrada, pero el resto no es factorable a hacer algo más sencillo. También trató de expresar $x^3$$\sqrt{x^6}$, pero que realmente no ayuda tampoco.

Uno podría pensar que, como $x^6$ crece más rápidamente que la $x^3$ por un factor de $x^3$, la contribución de la $x^3$ plazo para el término de la raíz cuadrada sería eclipsada por la contribución de la $x^6$ plazo, de modo que el comportamiento general del primer término en el límite sería de "comportarse" como $x^3$, a medida que x se hace más grande y más grande, así que me gustaría pensar intuitivamente que el límite sería de evaluar a 0.

Answer 1

Bueno,

$$\sqrt{x^6 - 9 x^3} = x^{3} \left(1 - \frac{9}{x^{3}}\right)^{1/2}$$

y entonces la pregunta es realmente acerca de entender cómo $\sqrt{1 - t}$ ve cuando $t$ es bastante pequeño. Notando que el % de derivados $\frac{d}{dt} \sqrt{t} = \frac 1 2$cuando $t = 1$, podemos decir que

$$\left(1 - \frac{9}{x^{3/2}}\right)^{1/2} \approx \frac 1 2 \left(\frac{-9} {x^{3}}\right)$$

que conduce rápidamente al límite reclamado de $-9/2$.

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Alternativamente, existe una técnica totalmente estándar de multiplicar y dividir por el conjugado, que es $\sqrt{x^6 - 9x^3} + x^3$, pero me parece que esto no es muy esclarecedor.

Answer 2

$$\sqrt{x^6-9x^3}-x^3=\frac{x^6-9x^3-x^6}{\sqrt{x^6-9x^3}+x^3}=\frac{-9x^3}{\sqrt{x^6-9x^3}+x^3}$$

$x$ Va a $\infty$, $\sqrt{x^6-9x^3} \approx x^3.$

Más precisamente, dividen el numerador y el denominador por $x^3$:

\begin{align} \sqrt{x^6-9x^3}-x^3&=\frac{x^6-9x^3-x^6}{\sqrt{x^6-9x^3}+x^3}\\&=\frac{-9x^3}{\sqrt{x^6-9x^3}+x^3} \\ & =\frac{-9}{\sqrt{1-9x^{-3}}+1} \end {Alinee el}

Answer 3

Hmmm, nadie ha señalado lo obvio:

$\lim \sqrt{x^6 - 9x^3} - x^3 = \lim \sqrt{x^6 - 9x^3 + 36/4} - x^3$

$ = \lim \sqrt{(x^3 - 9/2)^2} - x^3 = \lim x^3 - 9/2 - x^3 = -9/2$

La intuición.... hmm .... Supongo que al darse cuenta de la $x^3$ $\sqrt {x^6 + stuff}$ iba a cancelar la $-x^3$. Así que quiero un poco de $\lim \sqrt {Y_{x^3}^2} - x^3$ y calculando $Y_{x^3}^2$ debe ser.

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Así que ¿por qué no $\lim \sqrt{x^6 -9x^3} = \lim\sqrt{x^6 -9x^3 + 36/4}$?

Deje $\epsilon > 0$. Queremos resolver para que $x$ tenemos $|\sqrt{x^6 -9x^3 + 36/4}-\sqrt{x^6-9x^3}| = x^3 - \frac 92 - \sqrt{x^6-9x^3} < \epsilon$. Si podemos demostrar que esto puede ser solucionado para todos los $x > M$ algunos $M$ hemos terminado.

$(x^3 - \frac 92) - \epsilon < \sqrt{x^6 - 9x^3} $. Por lo suficientemente grande como $x$ podemos asumir esta son ambos positivos.

$x^6 - 9x^3 + 9 - 2\epsilon*(x^3 - \frac 92) + \epsilon^2 < x^6 - 9x^3$

$9 - 2\epsilon*(x^3 - \frac 92) + \epsilon^2 < 0$

$(x^3- \frac 92) > \frac{(9 + \epsilon^2)}{2\epsilon}$

Así que para cualquier $x > \sqrt[3]{\frac 92 + \frac{(9 + \epsilon^2)}{2\epsilon}}$ esto será cierto.

Así que para todos los $\epsilon > 0$ si $x > M = \sqrt[3]{\frac 92 + \frac{(9 + \epsilon^2)}{2\epsilon}}$ tenemos $|\sqrt{x^6 -9x^3 + 36/4}-\sqrt{x^6-9x^3}| < \epsilon$

Por lo $\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^6 -9x^3 + 36/4}-\sqrt{x^6-9x^3}= 0$

Por lo $\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^6 -9x^3 + 36/4}= \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^6 -9x^3}$

Por lo $\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^6 -9x^3}-x^3 = \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^6 -9x^3 + 36/4} -x^3 = -\frac 92$

O, más en general...

Si $c_x \rightarrow \infty$ $f$ es continuo, $\lim_{x\rightarrow \infty}f(c_x + h) = \lim_{x\rightarrow \infty}f(c_x(1 + h/c_x))=\lim_{x\rightarrow \infty}f(c_x(\lim_{x_\rightarrow \infty}(1 + h/c_x))=\lim_{x\rightarrow \infty}f(c_x*1)=\lim_{x\rightarrow \infty}f(c_x)$

Vamos $c_x = x^6 - 9x$, $h= 9=36/4$ $f(y) = \sqrt{y}$.

Answer 4

Su mejor tener un vistazo a esta respuesta a una pregunta similar. Aparte de eso, quiero añadir que la mayoría de las cosas en cálculo/real-análisis no es para ser manejado por la intuición. Incluso los matemáticos han sido engañados con su intuición en real-análisis (existen continua diferenciable en todas partes, pero en ninguna parte de las funciones, existen funciones diferenciables cuyos derivados no son integrables en el sentido de Riemann).

En particular, el concepto de límite es también no es tan intuitivo como uno podría pensar (es decir, en un nivel de $+, -, \times, /$). Un límite es siempre evalúan utilizando los teoremas que se ocupan de la evaluación de los límites y nada más. Y lo peor de aproximación a los límites es pensar en ellos como una aproximación y, por tanto, $\sqrt{x^{6} - 9x^{3}}$ no puede ser sustituido por $x^{3}$ porque son aproximadamente iguales. La forma más simple y directa de aproximación simple límite de preguntas es el uso de límites estándar. Aquí se utiliza el límite estándar $$\lim_{x \to a}\frac{x^{n} - a^{n}}{x - a} = na^{n - 1}\tag{1}$$ First we replace $x^{3}$ by $1/h$ and as $x \to \infty$ we have $h \to 0^{+}$. Entonces \begin{align} L &= \lim_{x \to \infty}\sqrt{x^{6} - 9x^{3}} - x^{3}\notag\\ &= \lim_{h \to 0^{+}}\sqrt{\frac{1}{h^{2}} - \frac{9}{h}} - \frac{1}{h}\notag\\ &= \lim_{h \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1 - 9h} - 1}{h}\notag\\ &= \lim_{t \to 1^{-}}\dfrac{t^{1/2} - 1}{\dfrac{1 - t}{9}}\text{ (putting }1 - 9h = t)\notag\\ &= -9\lim_{t \to 1^{-}}\frac{t^{1/2} - 1}{t - 1}\notag\\ &= -9 \cdot\frac{1}{2}\text{ (using (1))}\notag\\ &= -\frac{9}{2}\notag \end{align}

Answer 5

Lo único que agregaría a la respuesta de T. Bongers es la clave para este tipo de preguntas se suele preguntar:

1. ¿Cómo puedo transformar el límite a evaluar utilizando técnicas estándar?
2. Especialmente con límites en el infinito, ¿qué es 'muriendo' más rápido?