Todas las primitivas de Pitágoras Cuádruples son conocidos. Este es el Teorema 3 en la página 176 y Teorema 4 en la página 177 de Jones_Pall_1939.pdf, disponible en TERNARIO como un pdf. La misma información se encuentra en las dos primeras páginas de Pall_Automorphs_1940.pdf en el mismo sitio.
La versión corta es esta: usted tiene un extraño número $ W $ Encontrar todos cuádruples $a,b,c,d$ $$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = W, $ $ donde se nos permite orden de la mezcla, tomar las variables a ser positivo, negativo o cero. A continuación, todas las primitivas cuádruples, extraño la primera entrada, están dadas por
$$ \left( a^2 + b^2 - c^2 - d^2 \right)^2 + 4 \left( ad-bc \right)^2 + 4 \left(ac+bd \right)^2 = W^2. $$
Mientras tanto, si $t$ algunos (positivo) divisor de $W,$ podemos hacer el mismo proceso para $W/t$ $W^2 / t^2,$ luego de multiplicar todos los $a,b,c,d$ $t.$
De julio de 2015: para otro proyecto, me decidí a tratar de generar todas las cuádruples por la clase de tres parámetros de las fórmulas que uno obtiene mediante la proyección estereográfica a $\mathbb S^2.$ los resultados son realmente decepcionantes. Creo que voy a seguir con los cuatro parámetros cosa. La encontré en Jones y el Velo, sino que se remonta al menos a Lebesgue, https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_quadruple#Parametrization_of_primitive_quadruples
y es un simple cálculo usando cuaterniones con integer ordinario de los coeficientes. Bien, el (primer correcta) la prueba de que los cuatro parámetros de la receta da todas las primitivas de las soluciones es a partir de 1920, por Dickson. En 1941, Skolem dio una prueba de que se puede ajustar para dar un razonablemente directa algoritmo para la toma de una cuádruple y la reconstrucción de los cuatro parámetros. En 1956, una F. Steiger dio las desigualdades que hacer un mapeo uno-a-uno. Todo esto se informó en 1962, en un artículo de Robert Spira, en la maa Mensual, Mayo de 1962, volumen 69, número 5, páginas 360-365, título de La Ecuación de Diophantine $x^2 + y^2 + z^2 = m^2.$ Una cosa que no me inicialmente aviso, Spira simplemente descarta el ternas Pitagóricas; en el cuádruple de configuración, si uno de los números es $0,$ tenemos un triple y puede recuperar fácilmente los parámetros.
