Convergencia de secuencias en los espacios Hilbert

Question

En un espacio Hilbert, deja que una secuencia $(x_n)$ ser débilmente convergente a $x$ y estar satisfecho $\|x_{n+1}-x_n\| \to 0.$ Me pregunto si podemos deducir que $(x_n)$ converge fuertemente a $x$ o por lo menos contiene una subsecuente converge fuertemente a $x$ .

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Esto no es cierto. En $ \ell ^2$ puede considerar la siguiente secuencia: $$ e_1, \frac12 e_2, e_2, \frac12 e_2, \frac13 e_3, \frac23 e_3, e_3, \frac23 e_3, \frac13 e_3, \frac14 e_4, \frac24 e_4, \frac34 e_4, e_4, \frac34 e_4, \frac24 e_4, \frac14 e_4, \ldots $$ Es fácil comprobar que esta secuencia tiene todas las propiedades deseadas.

Ahora, sin una subsecuente convergencia: $$ e_1, e_1 + \frac12 e_2, e_1 + e_2, \frac12 e_1 + e_2, e_2, e_2 + \frac13 e_3, e_2 + \frac23 e_3, e_2 + e_3, \frac23 e_2 + e_3, \frac13 e_2 + e_3, e_3, \ldots $$

Answer 2

Editado en gran medida usando En el espacio de Hilbert: $x_n → x$ si y sólo si $x_n \to x$ débilmente y $ \Vert x_n \Vert → \Vert x \Vert $ . y el hecho de que la débil convergencia es única: Si $$||x_{n+1}-x_n|| $$ converge a cero, entonces $(x_n)$ es Cauchy en H. Así que, $x_n$ converge en algunos $y$ en H. Usando el otro puesto, tenemos que $x_n$ converge débilmente en $y$ . Pero, la débil convergencia es única. Así que.., $x=y$ lo que implica que $x_n$ converge en $x$ en H. Así, $||x-x_n||$ tiende a cero trivialmente dándonos una fuerte convergencia.