ortonormales de vectores de los campos

Question

En una de Riemann colector $(M^n,g)$, es cierto que, dado un punto de $p$ podemos encontrar $n$ campos vectoriales $X_i$ en un vecindario $U$ $p$ tal que $g(X_i,X_j)(x)=\delta_{ij}$$x \in U$? Parece que si lo hago de Gram-Schmidt a la coordenada de base de trabajo, pero, a continuación, la sección cuvature $K$$0$, y como es intrínseca, se supondrá que la superficie (en el caso de $n=2$) es localmente isométrica a un avión que, obviamente, no es cierto en general

Answer 1

Sí, usted puede hacer esto. Tomar un ortonormales marco fijo el punto central y se extienden en todas las direcciones por el transporte paralelo a lo largo de geodesics dejando el punto central. Lo que no puede hacer es decir algo acerca de los pares de la Mentira de los soportes de los campos resultantes. Chern hizo la mayoría de sus cálculos en esto de la moda.

EDDIITT: yo no soy de ver una prueba en cualquier lugar, así que...uno de los que define las relaciones de la de Levi-Civita de conexión de una métrica de Riemann, con suave campos vectoriales $U,V,W$ es $$ U \langle V,W \rangle = \langle \nabla_UV, W\rangle + \langle V, \nabla_U W \rangle. $$ If $U$ is the velocity field of a geodesic, we do get (by a little extension trickery that requires a full lesson) $$ \nabla_U U = 0, $$ which is nice. But parallel transport of the two vector fields $V,W$ along the geodesic means precisely that $$ \nabla_U V = 0, \; \; \nabla_U W = 0.$$ En particular, $$ U \langle V,W \rangle = \langle 0, W\rangle + \langle V, 0 \rangle = 0. $$ El interior de los productos de los campos permanecen constantes. Por lo tanto, si $V=W = e_i$ a, el punto central es uno de los ortonormales vectores de la base, nos encontramos con que $|V| =1$ siempre. A continuación, si $V= e_i$ $W = e_j$ en el punto central con $i \neq j,$ nos encontramos con que $V,W$ siendo ortogonales. Finalmente, todos los transportados a campos vectoriales se definen en una bastante grande de la pelota, hasta el radio de inyectividad en realidad.

Bien y de buenas. Como ya he dicho, no hay control de los pares Mentira soportes, como las de $0$ realmente requeriría de planitud.

Answer 2

Otra forma de pensar acerca de esto:

1.) si el colector es plana, a continuación, usted puede encontrar coordinar los campos vectoriales que son localmente ortogonal.

2.) si el colector no es plana, entonces usted puede encontrar no-campos de coordenadas localmente ortogonal. En la física, en la relatividad general, estos no-coordinar campos vectoriales a veces se toman a nivel local ortogonal a la métrica de minkowski. La curvatura del espacio-tiempo se codifica en los detalles de cómo esto no cuadro de coordenadas varía de punto a punto.

Algunas de las fórmulas que tiene a su disposición es probable tácitamente suponiendo una coordenada. Si usted se olvida de eso y asumir la no-coordinar base es apropiado para tales fórmulas, a continuación, obtener contradicciones como la que usted menciona.

Vagamente similar problema: no podemos encontrar un conjunto de vectores propios ortonormales para un no-simétrica real de la matriz. Incluso si la matriz es diagonalizable la eigenbasis no va a quedar un eigenbasis después de haberse puesto a través de Gram-Schmidt.

Para resumir: una manera de entender las otras respuestas hasta el momento dado es que sirven para mostrar por qué las bacterias Gram-Schmidt proceso no tiene por que producir coordinar campos vectoriales.