Si $A+A^T$ es negativa definida, entonces los autovalores de a $A$ tienen partes reales negativas?

Question

Suponga que $A$ no es simétrica. "Si $A+A^T$ es positiva definida, los autovalores de a $A$ positivos partes reales" (originalmente, fue negativo en definitiva/negativo real de las partes, pero sospecho que no importa). Este fue reivindicada en un comentario de una respuesta a si los autovalores son positivos, es la matriz positiva definida?.

1. Alguien podría proporcionar una prueba de esto?

2. Es la otra dirección, verdad? Si sí ¿cualquier persona puede presentar una prueba, si no es un contraejemplo.

3. Si $A$ es diagonalizable es la otra dirección, verdad? Si sí ¿cualquier persona puede presentar una prueba, si no es un contraejemplo.

Gracias.

(En caso de que nadie se pregunta cuál es la motivación detrás de esto es que estoy buscando en él con la esperanza de conseguir algo simple intuición geométrica para las condiciones de estabilidad asintótica del origen de un tiempo continuo, sistema LTI $\dot{x}=Ax$ (es decir, que los autovalores tienen partes reales negativas). Si la otra dirección de la afirmación es verdadera, esto implica que el ángulo entre el vector de velocidad de la $\dot{x}$ y el vector de posición $x$ es siempre mayor que $\pi/2$, de ahí que el estado es siempre 'ser empujado aproximadamente en la dirección del origen'.)

Answer 1

Creo que el siguiente sencillo argumento funciona, aunque me sorprende que no haya oído hablar de él antes de:

Si $\lambda \in \mathbb C$ es un autovalor de a $A$ con autovector $x$, luego $\lambda |x|^2 = \langle Ax,x \rangle = \langle x,A^T x \rangle = \overline{\langle A^T x, x\rangle}$, lo $\langle A^T x, x\rangle = \bar{\lambda} |x|^2.$

Por lo tanto, $2\Re{\lambda} |x|^2 = (\lambda + \bar\lambda)|x|^2 = \langle Ax,x\rangle + \langle A^T x,x \rangle = \langle (A+A^T)x,x \rangle > 0.$

La otra dirección es falsa, incluso para diagonalizable matrices: $\left(\begin{array}{cc} 1&100\\0&2\end{array}\right)$ tiene autovalores positivos, pero no cuando se añade a su transpuesta.

Si hacemos la muy fuerte suposición de que $A$ es normal, entonces el recíproco mantiene mirando a $\exp(-At) \exp(-A^T t) = \exp(-(A+A^T)t)$.

Answer 2

considere el siguiente sistema dinámico: $$\dot{x}=Ax$$ Permite el estudio de la estabilidad de este sistema, sabiendo que $A+A^T<0$.

Considere la siguiente función de Lyapunov $$V=x^Tx$$ Tomando la derivada a lo largo de la dinámica del sistema tenemos $$\dot{V}=\dot{x}^Tx+x^T\dot{x}=x^T(A^T+A)x<0$$ Por lo tanto, el sistema es globalmente (la función de Lyapunov es radialmente unbounded) asintóticamente estable (aquí en realidad es globalmente exponencialmente estable), lo que significa que $A$ es Hurwitz (la parte real de todos los autovalores es negativo).

Bueno esta es la solución de Control y los Sistemas de perspectiva!!