Patrón de urdimbre en una curva cerrada

Question

Dada una curva cerrada en un espacio 2D que se intercepta a sí misma (transversalmente, y no hay ningún punto en el que confluyan tres trayectorias o más), ¿es posible considerarla como un nudo celta de manera que cuando la sigues, una vez estás por encima de la otra trayectoria en un punto de intersección, y otra vez estás por debajo?

Mi intuición me dice que es posible, pero no he podido probarlo. ¿Alguna idea?

Por ejemplo, esta curva cerrada se ha dibujado de manera que los cruces se alternan por encima y por debajo:

Answer 1

Una curva cerrada que se auto-intercepta (razonablemente bien) divide el plano en una serie de componentes que pueden colorearse alternativamente en blanco y negro en forma de tablero de ajedrez. Declara que un segmento de la curva pasa por encima o por debajo de un cruce dependiendo de si el negro está a la izquierda o a la derecha del segmento cuando se acerca al cruce. Esto produce un nudo que es alternativo por construcción.

Answer 2

Claro, sólo tienes que añadir una dimensión a tu curva. Así que si tu curva puede ser parametrizada por

$$(x(t),y(t)),\ \ 0<t<1$$

Amplíelo con $z(t)$

$$(x(t),y(t),z(t)),\ \ 0<t<1$$

de tal manera que si alguna vez $x(t_1)=x(t_2)$ y $y(t_1)=y(t_2)$ entonces $z(t_1)\neq z(t_2)$ . Una forma sencilla de hacerlo es que su punto $t=0$ no estar en una intersección. Entonces sólo tiene que tener su $z(t)$ sea monotónicamente creciente para $t$ hasta pasar el último punto de intersección en 2D, momento en el que puedes volver a bajar con seguridad hasta el fondo sabiendo que no te vas a cruzar.