Rango de operador acotado es de primera categoría

Question

Deje $T$ ser un operador acotado de un Espacio de Banach $X$ a una normativa espacio de $Y$ tal que $T$ no está dentro, sino $R(T)\subset Y$ es densa. Demostrar que $R(T)$ es de primera categoría y no la nada densa.

Desde $\mathring{\overline{R(T)}}=\mathring{Y}=Y\not=\emptyset$ el rango no es nada densa, pero la forma de ver que es de primera categoría?

Answer 1

Podemos escribir $R(T)=\bigcup_{n=1}^{+\infty}T(B(0,n))$. Tenemos que mostrar que $T(B(0,n))$ es denso en ninguna parte. De lo contrario, el cierre de $T(B(0,1))$ tendría un no-vacío interior, y tendríamos $B(0,r)\subset \overline{T(B(0,1)}$ algunos $r>0$. Considerando $T/r$ si es necesario, podemos asumir que $r=1$. Deje $y\in Y$ tal que $y\notin R(T)$ norma $1$. Podemos construir, por inducción en $n$, una secuencia $\{x_k\}\subset B(0,1)$ tal que para cada una de las $n$, $$\left\lVert y-T\left(\sum_{j=1}^n\frac{x_j}{2^j}\right)\right\rVert\in (0,2^{-(n+1)}).$$ De hecho, tome $x_1\in B(0,1)$ tal que $\lVert y-Tx_1\rVert\leq \frac 12$. A continuación,$y-Tx_1\notin R(T)$, y es de norma $\leq 1/2$. Tome $x_2'$ norma $\leq 1/2$ tal que $Tx'_2$ enfoques $y-Tx_1$ $1/4$ y tome $x_2=2x_2'$. Si $x_1,\dots,x_n$ son construir, tenemos que $y-T\left(\sum_{j=1}^n\frac{x_j}{2^j}\right)\notin R(T)$. Deje $x'_{n+1}$ norma $\leq 2^{-(n+1)}$ tal que $$\left\lVert y-T\left(\sum_{j=1}^n\frac{x_j}{2^j}\right)-T'x_{n+1}\right\rVert\leq 2^{-(n+1)},$$ y tome $x_{n+1}=2^{n+1}x'_{n+1}$. Deje $s_n:=\sum_{k=1}^n2^{-k}x_k$. Desde $\lVert x_k\rVert\leq 1$,$\lVert s_{m+n}-s_n\rVert\leqslant 2^{-n}$, por lo tanto $(s_n,n\geqslant 1)$ es una secuencia de Cauchy, que converge, por la integridad de la $X$ algunos $x$. Por el acotamiento de $T$, tendríamos $y=Tx$ (debido a $s_n\to x$$Ts_n\to y$), una contradicción.