¿Qué son exactamente clases de equivalencia

Question

¿Qué son exactamente clases de equivalencia? Supongamos que tengo una relación de equivalencia $\sim$ en algunos de $X$ denotamos esta como $x \sim y$. Las clases de equivalencia son, a continuación,$[x] = \{y \in X : y \sim x\}$.

Sin embargo he tenido problemas en cuanto a lo que esto significa realmente, ¿significa esto que para algunos $y \in X$ de las clases de equivalencia son sólo los objetos que satisfacen la propiedad simétrica?

Answer 1

Clases de equivalencia son conjuntos de elementos que son todas equivalentes entre ellos. Por ejemplo, si la relación de equivalencia $\sim$ es "tener el mismo sexo", entonces hay dos clases de equivalencia en el mundo: los niños y niñas (si nos olvidamos de la ambigüedad de los casos). De la misma manera, si la relación de equivalencia es un "ser nacido el mismo año", y luego cada año produce una diferente clase de equivalencia de todas las personas a partir de este año.

En resumen, una relación de equivalencia corta el universo en las "papas" de los elementos: en el interior de un papa, todos los elementos son equivalentes entre sí, y las patatas se llama clase de equivalencia.

Answer 2

El conjunto $[x]$ consiste, como escribir, exactamente de los elementos $y$ $X$ satisfactorio que $x\sim y$. Es decir, dada la $x$, la clase de equivalencia es un subconjunto de a $X$. Nota, en particular, que si $x \sim y$,$[x] = [y]$.

Considere el ejemplo: $X = \mathbb{Z}$. Definir la relación de equivalencia que $x\sim y$ si y sólo si $2 \mid x- y$. Que es $x$ $y$ están en la misma clase de equivalencia exactamente cuando su diferencia es divisible por $2$.

Entonces, ¿qué es $[0]$? No es difícil ver que este es el elemento en $\mathbb{Z}$ que son divisibles por $2$: $y \sim 0$ significa $2 \mid y - 0$.

Pregunta extra: ¿cuántas clases de equivalencia tiene usted? Sugerencia: $2$

Bono Extra de la pregunta: anote las dos clases de equivalencia. Respuesta: Si usted piensa acerca de ello, no es difícil ver que el $2$ clases de equivalencia son exactamente los números pares y los impares.

Answer 3

Piensa en este ejemplo:

Usted classifie su ropa en un armario.

Tiene diferentes tipos de ropa (camisetas, zapatos, pantalones...). Si cada tipo de ellos son relationed con los demás guarniciones del mismo tipo.

Si usted classifie cada diferente tipo en una parte diferente de el armario (las partes del armario son las clases de equivalencia)

Answer 4

Aquí hay dos ejemplos familiares que pueden ayudar.

1. Deje que el suelo se la gente, y decir que dos personas son equivalentes si tienen el mismo tipo de órganos sexuales. Luego, cada hombre es equivalente a cualquier otro hombre. El conjunto de todos los hombres es una clase de equivalencia, como lo es el conjunto de todas las mujeres.

2. Deje que la planta de conjunto de enteros, y decir que dos enteros son equivalentes si su diferencia es un múltiplo de 2. Cada entero es equivalente a todos los demás, incluso entero (ya que la diferencia de dos pares es par). Cada número entero impar es equivalente a cualquier otro número entero impar de manera similar. Por eso, las dos clases de equivalencia son el conjunto de todos los números enteros y el conjunto de todos los enteros impares.