Es el conjunto de todos los racionales con denominadores menos de $10^6$ cerrado en $\mathbb{R}$?

Question

Me pregunto si el conjunto de todos los racionales con denominadores menos de $10^6$ es cerrado en el sistema numérico real. Creo que no, así que eso es lo que he estado tratando de probar. He intentado buscar en su complemento y mostrando que es abierto, pero yo no progreso mucho. Mi último recurso es mostrar que hay una secuencia de racionales en mi conjunto convergente a un número irracional (o a un racional cuyo denominador es mayor que $10^6$). El problema es, ¿cómo puedo asegurarme de que todo simplificado fracciones en mi secuencia tendrá denominador menor que $10^6$?

Answer 1

Sugerencia: Deje $N=\operatorname{lcm}\{1,2,3,\ldots,10^6\}$, y deja que nuestro ser $$S=\{\tfrac{a}{b}\in\mathbb{Q}\mid 1\leq b\leq 10^6\}.$$

Considerar la homeomorphism $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por $f(x)=Nx$. A continuación,$f(S)\subseteq\mathbb{Z}$.

Answer 2

Por supuesto, es cerrado. Acaba de volar por un factor de $(10^6)!$, y todos sus elementos son números enteros.

Answer 3

Llame a nuestro set $D$. Nos muestran que $D$ se cierra mostrando que el cierre de $D$ es igual a $D$.

Cualquier conjunto acotado $B$ contiene sólo un número finito de elementos de $D$. Para suponer lo contrario que $B$ contiene una infinidad de elementos de $D$. Dado que el número de los denominadores es finito, el número de los numeradores de los elementos de $B$ debe ser infinito, y por lo tanto sin límites, lo $B$ ilimitado.

Así que si tomamos cualquier número real $x$ no $D$, existe un intervalo abierto alrededor de $x$ que no contiene ningún elemento de $D$. Por lo tanto $x$ no puede estar en el cierre de $D$.

Answer 4

Tenga en cuenta que $D= \displaystyle \bigcup_{n=1}^{10^6} \frac{1}{n}\mathbb{Z}$. Cada elemento de esta unión está cerrado desde $\mathbb{Z}$ es cerrado y el mapa de $x \mapsto \frac{x}{n}$ es un homeomorphism para todos los $n \ne 0$, y una unión finita de conjuntos cerrados es cerrado.

Answer 5

Lema: Supongamos $X,Y\subseteq \mathbb R$, $X$ es finito y $Y$ es cerrado. Entonces el conjunto $$X+Y:=\{x+y|x\in X, y\in Y\}$$ está cerrada.

Prueba: Desde $Y$ es cerrado, cualquier secuencia $(y_n)$ $Y$ con límite de en $\mathbb R$ tiene límite en a $(y_n)$. Para $x\in X$, cualquier secuencia en la $\{x\}+Y$ es de la forma $(x+y_n)$, y si $(x+y_n)$ limit $x+y$ $\mathbb R$ $(y_n)$ limit $y\in Y$, lo $x+y\in \{x\}+Y$ por lo tanto $(x+y_n)$ tiene límite en a $\{x\}+Y$. Por lo tanto $\{x\}+Y$ es cerrado. Desde una unión finita de conjuntos cerrados es cerrada, se deduce que el $X+Y=\bigcup\limits_{x\in X} \{x\}+Y$ es cerrado.

Corolario: El conjunto de $\{a/b|a,b\in \mathbb Z, 0\leq b\leq 10^6\}$ es cerrado.

Prueba: tenga en cuenta que $$\{a/b|a,b\in \mathbb Z, 0\leq b\leq 10^6\}=\{a/b|a,b\in \mathbb Z, 0\leq a\leq b\leq 10^6\}+\mathbb Z$$ y $\{a/b|a,b\in \mathbb Z, 0\leq a\leq b\leq 10^6\}$ es finito, mientras que $\mathbb Z$ es cerrado.