transformación ortogonal, $S^{n-1}$

Question

Mostrar que podemos encontrar una transformación ortogonal de determinante $1$ envío a cualquier punto de $S^{n-1}$ a cualquier otro.

Busqué en línea y no podía encontrar la solución. Actualmente estoy aprendiendo acerca de la Mentira de los grupos como parte de una escuela secundaria proyecto de estudio independiente.

Answer 1

Entre mis notas del curso en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/ destinado a ser tan accesible como sea posible (con algunos más sofisticados "suplementos"), el caso de la rotación de las esferas y algunos otros ejemplos son discutidos en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/06_homogeneous_geometries.pdf

Answer 2

Realmente no es un iluminador respuesta, pero si desea $T(v) = w$ para una transformación ortogonal, entonces simplemente extender $v$ a una base ortonormales $A$ y de manera similar a $w$ a una base ortonormales $B$ y, a continuación, su matriz de transformación es $BA^{-1} = BA^T$. Usted necesita demostrar que inversas y productos ortogonal de matrices son ortogonales a hacer esto más riguroso, y argumentan que puede tener $\det(AB^{-1}) = 1$ mediante el intercambio de algunos vectores en $A$ o $B$ si es necesario.