¿Qué hace que una función no esté definida?

Question

He empezado a estudiar precálculo y luego empezaría con el cálculo. Mientras estudiaba sobre funciones me preguntaba si esta función estaría definida en $a$ o no. Échale un vistazo. $$ f(x) = \frac{(x-a)(x-b)(x-c)...(x-n)}{(x-a)} $$

Aquí, si lo simplificamos aún más, el término $\left( x-a\right)$ se cancelaría haciendo que la función definida en $a$ pero si lo dejáramos así sería indefinido en ese punto.

Hice esta pregunta porque encontré en algunas fuentes que la gráfica de tales funciones tiene un punto abierto en ese punto indicando que es discontinua en ese punto. Pero no pude explicarlo. ¿Son diferentes las expresiones antes y después de la cancelación o es otra cosa?

Estaría muy agradecido por su ayuda y gracias...

Answer 1

Considere las siguientes funciones: $$f(x) = 5$$

$$g(x) = \dfrac{5(x-2)}{(x-2)}$$

La función $g$ no se define en $x = 2$ pero está de acuerdo con $f$ en cualquier otro punto.

Así que diríamos que estas funciones no son las mismas, porque sus dominios son diferentes.

Answer 2

No se puede simplificar $\frac{ca}{cb}$ a $\frac ab$ si $c=0$ porque la primera expresión no tiene ningún sentido. $\frac 00\neq 1$ y eso es lo que se dice cuando se simplifica la función cancelando ambos $x-a$ 's.

Sin embargo, no encontramos realmente este problema si somos precisos; definimos

$$f(x)=\frac{(x-a)\cdot p(x)}{x-a}$$

para $f:\Bbb R\backslash \{a\}\to\Bbb R$ de todos modos (donde $p$ es algún polinomio, pero eso no viene al caso), por lo que la función

$$f(x)=p(x)$$

sigue siendo el mismo, si dejamos $f:\Bbb R\backslash \{a\}\to\Bbb R$ .

Answer 3

Una función $f$ es una relación asimétrica especial entre dos conjuntos $A$ et $B$ representado por $f:A\to B$ . La relación consiste en que para cada elemento de $A$ (llamado dominio de $f$ ) existe un único elemento en $B$ (llamado codominio de $f$ ) definida por la función $f$ .

En su ejemplo, si el codominio de $f$ es $\Bbb R$ entonces $f(a)\notin \Bbb R$ porque la división por cero no está definida en $\Bbb R$ .