Álgebra y habilidades necesarias para Hatcher

Question

Hace un par de meses le pedí a un profesor por correo electrónico que me orientara sobre topología durante el verano. Me aconsejó que estudiara topología general (espacios de Hausdorff, conectividad, compacidad) y topología algebraica (de Hatcher) antes de conocernos, si el tiempo lo permite.

Ayer terminé el capítulo 2 de Munkres (pienso estudiar hasta el capítulo 3) pero no tengo conocimientos de álgebra abstracta y lineal. He cursado análisis y teoría de conjuntos, esta es mi formación.

Me considero un principiante (si te fijas en mis preguntas:-)). Aunque estudio hasta 5 horas al día, siento que no logro mucho. Además, soy particularmente malo para encontrar contraejemplos (tal vez porque no he tomado el cálculo).

Volviendo a mi pregunta, ¿cuánto álgebra tengo que cubrir para entender a Hatcher? ¿Tengo alrededor de 1 mes para cubrir? ¿Me recomendarías algunos libros/notas? ¿Cómo puedo desarrollar mis habilidades para encontrar contraejemplos?

Answer 1

Me imagino que vas a mirar la sección de grupo fundamental, o la sección de homología. En cualquier caso, todo lo que recomendaría como fondo para el álgebra es la comprensión de lo que significa que un subgrupo sea normal y las propiedades básicas de los homomorfismos (específicamente el primer teorema del isomorfismo).

Creo que utilizar la topología algebraica como factor de motivación para aprender álgebra es una buena idea, pero (según mi experiencia) es mejor aprender los conceptos sobre la marcha. Es difícil ver de antemano qué conceptos algebraicos son relevantes. Basta con que leas los temas apropiados a medida que los veas en Hatcher.

En cuanto a la topología general, lo único que añadiría a tu lista es tratar de entender los espacios cocientes. Gran parte de la topología general se puede barrer bajo la alfombra, pero los cocientes son extremadamente importantes. El libro de Klaus Jänich titulado simplemente "Topología" tiene algunos ejemplos excelentes.

Por último, no te sientas desanimado por esos sentimientos de "no lograr mucho". El aprendizaje de las matemáticas es altamente no lineal: a veces uno puede estar atascado durante días o semanas, y luego, de repente, se produce un momento de claridad y se avanza en la comprensión. Lo importante es estar trabajando constantemente.