Aunque ya has construido Balarka Sen sección $s:\pi_{n-1}(F,e)\to\pi_n(B,b)$, voy a correr a través de la construcción de modo que mi notación no salen de la nada.
Deje $f:S^{n-1}\to F$ representan un elemento de $\pi_{n-1}(F,e)$. Desde $i$ es nulo homotópica, la composición
$$S^{n-1}\xrightarrow{\ f \ }F\xrightarrow{\ i \ }E.$$
es así. Por lo tanto, existe una extensión para el cono $CS^{n-1}=D^n$, cuya restricción a$S^{n-1}$$i\circ f$, que es en realidad $f$ sí:
$$\overline{i\circ f}:(D^n,S^{n-1})\to (E,F),\quad \overline{i\circ f}|_{S^{n-1}} = f.$$
La composición de este con $p:E\to B$ da un mapa de $p\circ\overline{i\circ f}:D^n\to B$. Tenga en cuenta que para todas las $x\in S^{n-1}$,
$$(p\circ\overline{i\circ f})(x) = (p\circ f)(x) = b.$$
Por lo tanto, por la característica universal de cocientes, $p\circ\overline{i\circ f}$ factores a través de un mapa de $\hat{f}:S^n\to B$ hacer el diagrama:
$$\requieren{AMScd} \begin{CD}
D^n @>{\pi}>> D^n/\partial D^n=S^n\\ @V{p\circ\overline{i\circ f}}VV @VV{\hat{f}}V\\
B @>>{id_B}> B
\end{CD}$$
de camino al trabajo. Por lo tanto, podemos hacer la asignación $s[f] = [\hat{f}]$. Para ver por qué esto es una sección, recordemos que el mapa de los límites de $\partial$ en el largo de la secuencia exacta
$$\cdots\xrightarrow{\ \ \ }\pi_n(F,e)\xrightarrow{\ i_* \ }\pi_n(E,e)\xrightarrow{\ p_* \ }\pi_{n}(B,b)\xrightarrow{\ \partial \ }\pi_{n-1}(F,e)\xrightarrow{\ i_* \ }\pi_{n-1}(E,e)\xrightarrow{\ \ \ }\cdots$$
se define como la composición
$$\partial:\pi_n(B,b)\cong \pi_n(B,\{b\},b)\xrightarrow{\ p_*^{-1} \ }\pi_n(E,F,e)\xrightarrow{\ \delta \ }\pi_{n-1}(F,e)$$
donde $\delta[g] = [g|_{S^{n-1}}]$. Ahora, nos gustaría mostrar que $\partial\circ s=id_{\pi_{n-1}(F,e)}$. Tenga en cuenta que $p_*$ envía $[\overline{i\circ f}]\in\pi_n(E,F,e)$$[\hat{f}]\in\pi_n(B,b)$. Por lo tanto,
$$(\partial\circ s)[f] = \partial[\hat{f}] = (\delta\circ p_*^{-1})[\hat{f}] = \delta[\overline{i\circ f}] = [\overline{i\circ f}|_{S^{n-1}}] = [f].$$
