Grupo fundamental del grupo ortogonal especial SO(n)

Question

Pregunta: ¿Cuál es el grupo fundamental del grupo ortogonal especial $SO(n)$ , $n>2$ ?

Aclaración: La respuesta que se suele dar es: $\mathbb{Z}_2$ . Pero me gustaría ver una prueba de eso y un isomorfismo $\pi_1(SO(n),E_n) \to \mathbb{Z}_2$ que sea lo más explícito posible. Requiero un criterio ordenado para comprobar, si un camino en $SO(n)$ es nulo-homotópico o no.

Idea 1: Tal vez sea útil pensar en $SO(n)$ como se ha incluido en $SO(n+1)$ a través de $A \mapsto \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . El núcleo del mapa suryectivo $SO(n+1) \to \mathbb{S}^{n} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ , $B \mapsto B e_{n+1}$ es entonces exactamente $SO(n)$ . Por lo tanto, $\mathbb{S}^n \cong SO(n+1)/SO(n)$ . El grupo fundamental de $\mathbb{S}^n$ es trivial. Si uno supiera cómo el grupo fundamental de cocientes $Y = X / A$ parece que esto podría ser útil.

Idea 2: El mapa $SO(n+1) \to \mathbb{S}^n$ definida anteriormente también puede considerarse como una $SO(n)$ -bundle. Existe una secuencia exacta de grupos de homotopía para esos haces, que podría proporcionar el resultado. Pero las descripciones de los mapas de esta secuencia que encontré eran bastante vagas.

Answer 1

Puedes utilizar la secuencia exacta de grupos de homotopía que mencionas (sin conocer los mapas) para obtener el resultado una vez que sepas $\pi_1(SO(3))$ . Para ello se puede utilizar el hecho de que SU(2) cubre doblemente a SO(3) y SU(2) está simplemente conectado (siendo difeomorfo a la esfera 3).

EDITADO para atender el comentario de Meneldur:

Lo siento, he pasado por alto la parte en la que mencionabas que querías un isomorfismo explícito. El fibrado $$ SO(n) \to SO(n+1) \to S^n $$ da $$ \pi_2(S^n) \to \pi_1(SO(n)) \to \pi_1(SO(n+1)) \to \pi_1(S^n) $$ es exacta. Ahora para $n \ge 3$ , $\pi_2(S^n)$ y $\pi_1(S^n)$ son ambos triviales. Por lo tanto, $\pi_1(SO(n)) \simeq \pi_1(SO(n+1))$ y este isomorfismo es a través de la inclusión $SO(n) \to SO(n+1)$ . Así que una vez que se tiene el bucle no trivial que genera $\pi_1(SO(3))$ puedes incluirlo en dimensiones superiores para obtener el generador de todas las demás.

Para obtener un bucle de este tipo para $SO(3)$ , es necesario encontrar una ruta en $SU(2)$ conectando 1 a -1 y luego proyectando eso a $SO(3)$ . Pensando en $SU(2)$ como cuaterniones unitarios, tal camino es $q:t \mapsto \cos(\pi t) + i\sin(\pi t)$ . Ahora pensando en $\mathbb R^3$ como cuaterniones puramente imaginarios, $q(t)$ corresponde al elemento en $SO(3)$ enviando $p \mapsto q(t)p\bar q(t)$ . Ahora puedes escribir este mapa en forma de matriz para ver cómo es el camino en términos de $SO(3)$ como matrices de 3x3. Basta con incluir este camino mediante la inclusión en $SO(n)$ para una mayor $n$ nos dará, por la LES, el elemento no trivial de $\pi_1$ para una mayor $n$ .

Por desgracia, no estoy seguro de cómo determinar si un bucle dado es nulo-homotópico.

Answer 2

Nunca he pensado mucho en ello más allá de usar la LES en la homotopía asociada a la fibración $$SO(n) \to SO(n+1) \to S^n$$

Pero un poco de búsqueda en Google nos lleva a la siguiente descripción, que quizás sea útil. ( Fuente - págs. 263 )

Para $n \ge 3 , \pi_1(SO(n)) = \mathbb{Z}/2$ . El generador del grupo $\pi_1(SO(n))$ es la trayectoria que consiste en todas las rotaciones alrededor de un eje fijo

Prueba:

La LES en homotopía da que $\pi_1(SO(n)) \simeq \pi_1(SO(n+1))$ y como $\pi_1(SO(3)) \simeq \pi_1(\mathbb{R} P^3) \simeq \mathbb{Z}/2$ tenemos que, para $n \ge 3, \pi_1(SO(n)) = \mathbb{Z}/2$ . Representemos $\mathbb{R} P^3$ como el disco $D^3$ con las antípodas del límite identificadas. El homeomorfismo $SO(3) \simeq \mathbb{R} P^3$ lleva las rotaciones alrededor de un eje fijo a algún diámetro del disco. Cada diámetro de trayectoria de $D^3$ corresponde a un elemento no nulo del grupo $\pi_1(\mathbb{R} P^3)$ porque el levantamiento de este camino bajo la cobertura $S^3 \to \mathbb{R} P^3$ es no cerrada. La incrustación $SO(n) \to SO(n+1)$ mapea rotaciones sobre un eje fijo a rotaciones sobre un eje fijo, y lleva un generador del grupo fundamental al generador del grupo fundamental.

Answer 3

Usando LES en homotopía es fácil ver la inclusión $SO(2) \to SO(3)$ induce una suryección $\pi_1(SO(2)) \to \pi_1(SO(3))$ por lo que también es una suryección $\pi_1(SO(2)) \to \pi_1(SO(n))$ . Como hemos sabido que $\pi_1(SO(n))=\mathbb{Z}_2$ y la clase de trayectoria de $f(t)=\begin{pmatrix} \cos 2\pi t & \sin 2\pi t \\ -\sin 2\pi t & \cos 2\pi t \end{pmatrix}$ es un generador de $\pi_1(SO(2))$ y esto debe ser mapeado a un generador de $\pi_1(SO(n))$ por lo que un generador de $\pi_1(SO(n))$ es sólo la clase de ruta del mapa $$g(t)=\begin{pmatrix} \cos 2\pi t & \sin 2\pi t & 0 \\ -\sin 2\pi t & \cos 2\pi t & 0\\ 0 & 0 & I_{n-2} \end{pmatrix}.$$

Answer 4

Creo que es útil tener una forma de "ver" que un $2\pi$ rotación $A$ (pensado como un grupo de rotaciones de 1 parámetro $A(t), t\in[0,1]$ que comienza y termina en la identidad $e$ ) alrededor de un eje es homotópico a su inverso. (En otras palabras, que $A^2=e$ como elementos del grupo fundamental). Si $A$ es la rotación en el sentido de las agujas del reloj alrededor del $x$ eje, queremos un grupo de rotaciones de 1 parámetro que comience en $A$ y termina en $A^{-1}$ que es la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del mismo eje.

Por lo tanto, dejemos que $C\subset S^3$ sea el semicírculo que es la intersección de $S^3$ con la mitad superior del $xz$ plano, y que $v(s), s\in [0,1]$ sea una parametrización de $C$ a partir de $(1,0,0)$ y terminando en $(-1,0,0)$ . Sea $A_s$ sea el sentido de las agujas del reloj $2\pi$ rotación alrededor de la línea recta que pasa por $v(s)$ y el origen. Entonces, claramente $A_0 = A$ , $A_1 = A^{-1}$ y $A_s(t)$ es la homotecia deseada.

Answer 5

Muchos de ustedes han mencionado la larga secuencia exacta

$ \pi_2(S^n)\to\pi_1(SO(n))\to\pi_1(SO(n+1))\to\pi_1(S^n), $

que puede utilizarse para mostrar $\pi_1(SO(n))=\pi_1(SO(3))=\pi_1(\mathbb{RP}^3)$ que es $\mathbb{Z}/2$ de forma bastante explícita.

Ahora la pregunta es: ¿cómo ver el isomorfismo $\pi_1(SO(n))\simeq\pi_1(SO(n+1))$ ¿explicación? Como el mapa de izquierda a derecha es simplemente inducido por la inclusión, la parte no trivial es encontrar su inversa (explícita).

Podemos visualizar $SO(n+1)$ por marco ortonormal en $\mathbb{R}^{n+1}$ con orientación positiva. Supongamos que tenemos un bucle de cuadros $(e_1(t),\dots,e_{n+1}(t))$ . Podemos verlo como

$(e_1(t),\dots,e_n(t))\in T_{e_{n+1}(t)}S^n\subset TS^n$ .

Supongamos que $q\in S^n$ no está en el bucle $e_{n+1}(t)$ . (Si $e_{n+1}(t)$ resulta ser una curva que llena el espacio, se puede homotopiar ligeramente para que no lo sea). Sea $p=-q$ . Entonces existe una única geodésica desde $p$ a $e_{n+1}(t)$ que varía continuamente con respecto a $t$ . Ahora transporte en paralelo el marco

$(e_1(t),\dots,e_n(t))\in T_{e_{n+1}(t)}S^n$

a lo largo de la geodésica hasta un marco

$(e_1'(t),\dots,e_n'(t))\in T_pS^n$ ,

que puede verse como un bucle de marcos ortonormales en $\mathbb{R}^n$ con orientación positiva. De este modo, obtenemos un bucle en $SO(n)$ . Continuar hasta $n=3$ .