Eliminar $\theta$

Question

Eliminar $\theta$ en

$$\sin \theta + \mbox{cosec} \, \theta = m$$

$$\sec \theta - \cos \theta = n$$

Mi enfoque-

Yo multiplica la primera ecuación por $\sin \theta$ y la segunda ecuación por $\cos \theta$ pero no me da la respuesta deseada..

Answer 1

El cuadrado y sumando,obtenemos

$1+cosec^2\theta+\sec^2\theta=m^2+n^2.....(1)$

Necesitamos encontrar a $cosec\theta$ $\sec\theta$ de las ecuaciones

Primera ecuación se convierte en $\frac{1}{\csc\theta}+\csc\theta=m$
$cosec^2\theta-m$ $cosec\theta+1=0$
Del mismo modo la segunda ecuación se convierte en
$\sec^2\theta-n\sec\theta-1=0$

Resolver estas usando la fórmula cuadrática,
$cosec\theta=\frac{m\pm\sqrt{m^2-4}}{2}$

$\sec\theta=\frac{n\pm\sqrt{n^2+4}}{2}$

Poner estos valores en la ecuación de $(1)$.

Answer 2

Tenemos

$$\frac{1}{\cos (\theta)} - \cos (\theta) = n \qquad \qquad \qquad \qquad \sin (\theta) + \frac{1}{\sin(\theta)} = m$$

Deje $x := \cos (\theta)$$y := \sin(\theta)$. Por lo tanto, $x^2 + y^2 = 1$. Las dos ecuaciones anteriores se pueden escribir como

$$\frac{1}{x} - x = n \qquad \qquad \qquad \qquad y + \frac{1}{y} = m$$

o, como sigue

$$x^2 = 1 - n x \qquad \qquad \qquad \qquad y^2 = m y - 1$$

Desde $x^2 + y^2 = 1$, obtenemos la ecuación de $m y - nx = 1$. Así, tenemos la intersección de la unidad de círculo y una línea de

$$x^2 + y^2 = 1\qquad \qquad \qquad \qquad m y - nx = 1$$

Si $m, n$ son tales que la intersección es no vacía, entonces de $x, y$ obtenemos el ángulo de $\theta$. Tenga en cuenta que la cardinalidad de la intersección es $0$, $1$, o $2$.

Answer 3

Tenemos $\dfrac{1-\cos^2\theta}{\cos\theta}=n\implies\sin^2\theta=n\cos\theta\ \ \ \ (1)$

$\iff\cos^2\theta+n\cos\theta-1=0\ \ \ \ (2)$

y multiplicar $\sin\theta$ con ambos lados de la $\sin \theta +\csc\theta = m$, $$\sin^2\theta=m\sin\theta-1\ \ \ \ (3)$$

$(1),(3)\implies n\cos\theta+1=m\sin\theta$

El cuadrado y en el reordenamiento, $(m^2+n^2)\cos^2\theta+2n\cos\theta+1-m^2=0\ \ \ \ (4)$

Solucionar $(2),(4)$ $\cos^2\theta,\cos\theta$ y utilizar el hecho de $\cos^2\theta=(\cos\theta)^2$

Answer 4

el uso de la taquigrafía $$ s = \sin \theta; c = \cos \theta; s2 = \sin 2 \theta; c2 = \cos 2 \theta; $$ Plaza y agregar $$ s^2 +1/s^2 + c^2 + 1/c^2 = m^2+n^2$$ o $$ sc= \frac{1}{\sqrt{m^2n^2-1}}, \, s2= \frac{2}{\sqrt{m^2+n^2-1}} $$ $$c2 = \sqrt{1-s2^2}=\sqrt{ \frac{ m^2+n^2-5}{m^2+n^2-1}}$$ $$s = \sqrt { \frac{ 1-c2}{2}}$$

Enchufe en la primera relación

$$\sqrt { \frac{ 1-c2}{2}} + \sqrt { \frac{2}{ 1-c2}} = m $$

Simplificar. Hay dos señales para cada $\pm$, por lo que hay ocho eliminants a ser considerado.