Descomposición espectral suave de una matriz

Question

Dejemos que $A : x \mapsto A(x)$ ser un $C^\infty$ mapa del semiplano $\left\{ (x_1,x_2,\cdots,x_n) \in \mathbb{R}^n,\ x_n>0\right\}$ al espacio de las matrices simétricas con coeficientes reales. Supongamos que $\dim \ker A(x)$ es constante en el semiplano. Entonces para todo $x$ podemos encontrar una matriz ortogonal $P(x)$ tal que $^tP(x) A(x)P(x)$ es una matriz diagonal.

1. ¿Podemos encontrar un mapa $P$ tal que $x\mapsto P(x)$ es regular ( $C^\infty$ sería perfecto pero $C^1$ también es bueno) ?
2. ¿Son regulares las proyecciones sobre los eigespacios?
3. Si $A(x)$ es positiva definida para todo $x$ en el semiplano, es la raíz cuadrada de $A(x)$ ¿regular?
4. Si ahora, suponemos que $P$ sólo es invertible (pero seguimos teniendo $^tP(x) A(x)P(x)$ es una matriz diagonal), puede $P$ ser regular?

Si la respuesta es negativa para una de estas preguntas, ¿tiene un contraejemplo? Si la respuesta es sí pero si asumimos más regularidad de $A$ (por ejemplo, analítica real), por favor dígame. Cualquier referencia será apreciada.

Answer 1

Aparte del punto 3, la respuesta es claramente negativa. Tomemos dos matrices $A_1,A_2$ que requieren diferentes $P$ y luego tomar $A(x)=f(x)A_1+g(x)A_2+I$ donde $f$ es una función suave apoyada en $(0,1]$ y $g$ es una función suave apoyada en $[1,+\infty)$ (en particular $A(1)=I$ ). Entonces, claramente $P$ no puede ser regular en $x=1$ . (Por cierto, no veo qué esperan ganar restringiendo $x$ a un medio espacio). Sólo se requiere $P$ para ser invertible en lugar de ortogonal (y supuestamente cambiando ${}^tP$ en $P^{-1}$ para que sigamos hablando de la conjugación) no supone una gran diferencia. Podemos tomar los polinomios característicos de $A_1,A_2$ para tener raíces simples; entonces las columnas de $P(x)$ que deben ser vectores propios de $~A_i(x)$ se limitan a ser múltiplos escalares de las columnas de una elección ortogonal para $P$ y el escalar no puede ser cero o tender a cero como $x\to1$ (que daría una matriz no invertible $P(1)$ ). Pero esto significa que no hay manera de conciliar los límites izquierdo y derecho de $P(x)$ en $x=1$ de manera continua.

En cuanto a la 3., es cierto. El mapa $S\mapsto S^2$ del conjunto de matrices simétricas definidas positivas a sí misma es biyectiva (para ello se utiliza que los eigenspaces de $S^2$ son idénticos a los de $S$ ), es suave y tiene derivada inyectiva (un pequeño cálculo, para el que podemos suponer que $S$ es diagonal), por lo que el teorema de inversión local dice que su inversa es suave. (Esto no sigue siendo cierto si extendemos a matrices semidefinidas).

Answer 2

Para añadir a la respuesta de Marcs: Existe una función de raíz cuadrada suave (de hecho, analítica real) en el espacio de las matrices simétricas positivas definidas. Se puede utilizar la expansión en serie de potencias $\sqrt{1+z}=\sum_{k=0}^\infty \binom{1/2}{k} z^k$ que converge para $|z|<1$ . Esto significa que $A\mapsto\sum_{k=0}^\infty \binom{1/2}{k} A^k$ es una función suave en $\lbrace A \mid \sigma(A)\subset(0,1)\rbrace$ . Dado que la norma de Frobenius $\|A\|_F:=\sqrt{\sum_{i,j} a_{ij}^2}$ es suave en función de $A$ y mayoriza el radio espectral podemos forzar que el radio espectral sea menor que uno mirando $\frac{1}{42\|A\|_F}A$ en lugar de $A$ . Por lo tanto, la raíz cuadrada global puede escribirse como $A\mapsto \sqrt{42\|A\|_F} \sqrt{\frac{A}{42\|A\|_F}}$ que ahora es una función suave de $A$ .