¿Puedan converger una serie de Taylor en un punto cuando el término de resto no puede delimitarse?

Question

Taylor Teorema (en la versión que estoy más familiarizado con) afirma que para que una función $f$ $n+1$ veces continuamente diferenciable en un abierto barrio que contiene el segmento de $L$$a$$a+h$, luego $$f(a+h) = f(a) + f'(a)h + \frac{1}{2!} f''(a)h^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)h^n + R_n(h)$$ Donde $$R_n(h) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)h^{n+1}}{(n+1)!}$$ para algunos $\xi \in L$. Si nos vamos a $$M_n = \sup_{y \in L}\left|\frac{f^{(n+1)}(y)h^{n+1}}{(n+1)!}\right|$$ y deje $f$ ser infinitamente diferenciable en algunas abrir barrio de $L$, $M_n \to 0$ implica que $$f(a+h) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)h^n}{n!} \tag{1}$$

Me pregunto si hay alguna ejemplos de funciones de $f$ que $M_n \not\to 0$, pero la ecuación (1) aún mantiene algunos $a$$h \not= 0$.

Answer 1

Sí, es posible. Un ejemplo simple es $\ln 2$ de la serie de Taylor para $\ln (1 + x)$. En particular, $$ \ln (1 + x) = \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n + 1}x^n}{n},$ $ y el término del resto no vaya a $0$ cuando $x = 1$. Pero la resultante alternando serie realmente convergen a $\ln 2$.