Que $f_n$ integrable en $[a,b]$ % todos $n$. Demostrar eso si $(f_n)\to f$ uniformemente en $[a,b]$ $f$ es integrable en $[a,b]$

Question

Quiero un cheque de esta prueba porque no estoy completamente seguro acerca de la manipulación en algunas desigualdades.

Deje $f_n$ integrable en $[a,b]$$n$. Mostrar que si $(f_n)\to f$ uniformemente en $[a,b]$ $f$ es integrable en a $[a,b]$

El uso de Darboux superior e inferior de las sumas si $f_n$ es integrable en a $[a,b]$ esto significa

$$\forall \varepsilon>0,\exists P\in\mathcal P: \sum_{j=1}^{H} (M_j-m_j)\Delta x_j<\varepsilon\tag{1}$$

donde $M_j$ $m_j$ son el supremum y infimum de $f_n(x)$$[x_j,x_{j+1}]$, y donde $\mathcal P$ es el conjunto de todas las particiones de $[a,b]$. Y tenemos que si $f(x)\to f$ uniformemente en $[a,b]$

$$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\Bbb N,\forall x\in[a,b]:|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon,\,\forall n\ge N\tag{2}$$

Debido a las $(2)$ existe $N$ tal que $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3(b-a)},\forall n\ge N$$\forall x\in[a,b]$. Y debido a $(1)$ $\frac{\varepsilon}{3}$ $f_n$ existe alguna $P_{\varepsilon,n}\in\mathcal P$ tal que

$$\sum_{j=1}^{H} (M_{n,j}-m_{n,j})\Delta x_j <\frac{\varepsilon}{3}$$

Si $\sum_{j=1}^{H} (M_{j}-m_{j})\Delta x_j$ es la diferencia entre la parte superior e inferior de la suma de $f$ el uso de la partición de $P_{\varepsilon,n}$

$$\sum_{j=1}^{H} (M_{n,j}-m_{n,j})\Delta x_j - \sum_{j=1}^{H} (M_{j}-m_{j})\Delta x_j+\sum_{j=1}^{H} (M_{j}-m_{j})\Delta x_j<\frac{\varepsilon}{3}$$

$$\sum_{j=1}^{H} (M_{j}-m_{j})\Delta x_j<\frac{\varepsilon}{3}-\sum_{j=1}^{H} (M_{n,j}-m_{n,j})\Delta x_j + \sum_{j=1}^{H} (M_{j}-m_{j})\Delta x_j$$

$$\sum_{j=1}^{H} (M_{j}-m_{j})\Delta x_j<\frac{\varepsilon}{3} + \sum_{j=1}^{H} ((M_{j}-M_{n,j})+(m_{n,j}-m_{j}))\Delta x_j$$

$$\sum_{j=1}^{H} (M_{j}-m_{j})\Delta x_j<\frac{\varepsilon}{3} + \sum_{j=1}^{H} (|M_{j}-M_{n,j}|+|m_{n,j}-m_{j}|)\Delta x_j$$

$$\sum_{j=1}^{H} (M_{j}-m_{j})\Delta x_j<\frac{\varepsilon}{3} + \sum_{j=1}^{H} \frac{2\varepsilon}{3(b-a)}\Delta x_j=\frac{\varepsilon}{3} + \frac{2\varepsilon}{3(b-a)}\sum_{j=1}^{H}\Delta x_j$$

$$\sum_{j=1}^{H} (M_{j}-m_{j})\Delta x_j<\frac{\varepsilon}{3} + \frac{2\varepsilon}{3(b-a)}(b-a)=\varepsilon$$

A continuación, para $f$ existe particiones en las que la diferencia entre la parte superior e inferior de la suma es arbitrariamente cercano a cero, por lo $f$ es integrable en a $[a,b]$.

Answer 1

Para una función $g:[a,b]\to\mathbb R$ y un % de partición $\mathcal P=\{x_0,\ldots, x_k\}\subset [a,b]$set\begin{align} M_i(g) &:= \sup\{g(x):x_i\leqslant g\leqslant x_{i+1}\},\quad i=0,1,\ldots,k-1\\ m_i(g) &:= \inf\{g(x):x_i\leqslant g\leqslant x_{i+1}\},\quad i=0,1,\ldots,k-1.\\ \end{align} desde $f_n\to f$ uniformemente, tenemos $$a_n := \sup\{|f_n(x)-f(x)|:x\in[a,b]\}\stackrel{n\to\infty}\longrightarrow0.$ $ que $\varepsilon>0$ y $N$ de elegirlo que $a_N<\frac\varepsilon{3(b-a)}$. Lo elegir $k$ que $$\max\{M_i(f_N)-m_i(f_N):0\leqslant i\leqslant k-1\}<\frac\varepsilon{3(b-a)},$$ where $% $ $\mathcal P_k=\bigcup_{i=0}^{k-1} \left\{a + \frac{i(b-a)}{k-1} \right\}. $\begin{align} |M_i(f)-M_i(f_N)|&\leqslant a_N<\frac\varepsilon{3(b-a)},\quad i=0,1,\ldots,k-1\\ |m_i(f)-m_i(f_N)|&\leqslant a_N<\frac\varepsilon{3(b-a)},\quad i=0,1,\ldots,k-1,\\ \end {alinee el} y por lo tanto\begin{align} |U_f(\mathcal P_k)-L_f(\mathcal P_k)| &= \left|\sum_{i=0}^{k-1} (b-a)(k-1)^{-1}M_i(f)-\sum_{i=0}^{k-1} (b-a)(k-1)^{-1}m_i(f) \right|\\ &\leqslant (b-a)k^{-1}\sum_{i=0}^{k-1} |M_i(f)-m_i(f)|\\ &\leqslant (b-a)k^{-1}\sum_{i=0}^{k-1}\left(|M_i(f)-M_i(f_N)|+|M_i(f_N)-m_i(f_N)|+|m_i(f_N)-m_i(f)|\right)\\ &< (b-a)k^{-1}\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac\varepsilon{3(b-a)} + \frac\varepsilon{3(b-a)} + \frac\varepsilon{3(b-a)}\right)\\ &=(b-a)\cdot\frac\varepsilon{b-a}\\ &=\varepsilon, \end {Alinee el} así que $f$ es integrable en $[a,b]$.

Answer 2

Algunos fáciles de hechos:

1. Si $f:E \to \mathbb R$ $c$ es una constante, entonces $\sup_E (f+c) = (\sup_E f) + c.$ Mismo para $\inf_E (f+c).$

2. Si $c$ es una constante, y $f:[a,b]\to \mathbb R$ es acotado, entonces $U(f+c,P) = U(f,P) + c(b-a)$ para cualquier partición $P$ $[a,b].$ Mismo para $L(f+c,P).$

3. Si $f \le g$ $[a,b],$ $U(f,P)\le U(g,P)$ para cualquier partición $P$ $[a,b].$ del mismo modo, si $f \ge g$ $[a,b],$ $L(f,P)\ge L(g,P).$

Ahora supongamos $f_n \to f $ uniformemente en $[a,b]$ y que cada una de las $f_n$ es Riemann integrable en $[a,b].$ Deje $\epsilon > 0.$ existe $N$ tal que $|f-f_N|<\epsilon$ $[a,b].$ Esto implica $f< f_N + \epsilon$ $f> f_N - \epsilon$ $[a,b].$ por lo Tanto, el uso de los hechos mencionados,

$$U(f,P) \le U(f_N+\epsilon,P) = U(f_N,P) + \epsilon(b-a)$$

y

$$L(f,P) \ge L(f_N-\epsilon,P) = L(f_N,P) - \epsilon(b-a)$$

para cualquier partición $P.$ $f_N$ es Riemann integrable, de modo que podemos elegir una partición $P$ tal que $U(f_N,P) - L(f_N,P)< \epsilon.$ esto $P$ entonces tenemos $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon + 2\epsilon(b-a).$ Esto demuestra $f$ es Riemann integrable en $[a,b].$