Además, ¿cómo cambia la situación cuando se sustituye RR con QQ ?
Sólo tengo herramientas muy básicas para abordar este problema. Mi intento de entenderlo es que PGLnPGLn es el conjunto de transformaciones lineales que dejan las normas de los vectores iguales, mientras que SLnSLn es el conjunto de transformaciones lineales que conservan los volúmenes y sus orientaciones. Pero debo tener algún malentendido porque entonces se podría considerar en PGL4PGL4 la matriz
(−1000010000100001)
para lo cual no creo que se pueda llegar a una matriz en SL4 para ser su preimagen. Pero tengo la certeza de que este enfoque es incorrecto, por lo que me gustaría que me indicaran una dirección mejor.
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PGLn es un grupo cociente de GLn .
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Así que SLn={A|detA=1} y PGLn={A|ATA=AAT=I} ?
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Dejando la norma invariable ‖Av‖2=‖v‖2⟹A∗=A−1 es el grupo ortogonal On(R) (el grupo unitario en el caso complejo). PGLn(R) es el grupo lineal que actúa sobre el espacio proyectivo, es decir λv se identifica con v para cualquier λ∈R∗ . Sí SLn(R) preserva el volumen orientado (el determinante de los lados de los paralelepípedos). En n impar el mapa SLn(R)→PGLn(R) es sobreyectiva, pero no funciona con Q (porque |det(A)|1/n no es racional)
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@reuns ¡Gracias! Aunque estoy confundido en cuanto a lo que se supone que es el mapa propuesto. Supongo que has llegado a la conclusión de que n debe ser impar a partir de algún argumento sobre la conservación de la orientación? ¿O estoy equivocado?
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El mapa GLn(k)→PGLn(k) es sólo A↦{λA,λ∈k∗} y el mapa SLn(k)→PGLn(k) es el mismo ya que SLn es un subgrupo de GLn . Para k=R y n impar que acabo de tomar A∈GLn(R) y establecer B=|det(A)|−1/nA,|det(B)|=1 para que det(B)=±1 y B o −B∈SLn(R) . Por definición A,B,−B son iguales en PGLn(R) . Cuando k=Q no funciona porque |det(A)|−1/n∉Q .