¿Cuál es la preimagen de un % Spec $A$la especificación de su encierro integral de un morfismo de curvas?

Question

Deje $\phi:X\to Y$ ser una de morfismos de nonsigular completa curvas. Vamos a Espec $A:=U\subset Y$ ser un conjunto abierto. ¿Por qué es $\phi^{-1} (U) =$ Espec $B$, el espectro de la integral de cierre de $A$$K(X)$? Podemos debilitar la hipótesis de nonsingularity y la integridad?

Esta declaración es, por ejemplo, en Hartshorne II.6.8. Veo la contención $\phi^{-1} U \subset$ Espec $B$, pero ¿cómo puedo demostrar que el otro? ¿Cómo puedo finalizar el siguiente argumento (es esta la manera de pensar?)?

Cada punto de $p\in \phi^{-1}(U)$ es tal que el anillo local $\mathcal O_{Y,q}$ algunos $q\in U$ domina $\mathcal O_{X,p}$...

Answer 1

Su morfismos tiene que ser el dominante, de lo contrario, la conclusión puede ser falsa. En este caso el de morfismos es ciertamente apropiado por $Y$ es separado y $X/k$ es. Por lo que la pre-imagen de un punto es un conjunto finito y sus morfismos es cuasi-finito, pero una adecuada cuasi finito de morfismos es finito. La no singularidad hipótesis es, por tanto, no es necesario.

Ahora usted también puede terminar Harsthorne del argumento (que no parece natural para mí) de la siguiente manera. Como $\text{Spec }B$ es isomorfo a un subconjunto abierto de $X$ dice $V$, que se asigna a $U$, que sin duda tiene $V\subset \phi^{-1}(U)$. La otra inclusión es dada por el hecho de que si $X\to Y$ es un dominante de morfismos con $X$ normal y $Y$ integral (que es tu caso), entonces factorises a través de la normalización de la $Y$ en una extensión de su campo de función.

En el algebraicas lado vamos a $R=O_X(\phi^{-1}(U))$ $R$ es normal en $K(X)$, finito $A$, por lo tanto es $B$ $\text{Spec }B$ es un subconjunto de a $\phi^{-1}(U)$ deben ser iguales.