Resolución de $\lim\limits_{x\to0} \frac{x - \sin(x)}{x^2}$ sin L ' Hospital ' s regla.

Question

¿Cómo resolver la regla de %#% de #% sin l ' hospital? puede utilizar identidades trigonométricas y las desigualdades, pero se puede utilizar series o cosas más avanzadas.

Answer 1

La expresión dada es impar; por lo tanto es suficiente para considerar $x>0$. Entonces tenemos $$0&lt{x-\sin x\over x^2}&lt{\tan x -\sin x\over x^2}=\tan x\ {1-\cos x\over x^2}={\tan x\over2}\ \Bigl({\sin(x/2)\over x/2}\Bigr)^2\ ,$ $ y lado derecho converge obviamente a $0$ cuando $x\to0+$.

Answer 2

Esto se puede hacer geométricamente.

Sorprendentemente, dos respuestas escribí en este sentido(geométrica de las pruebas de límites) antes de que pueden ser combinados para dar una solución para esto.

$$\lim_{x \to 0} \frac{ \tan x - x}{x^2} = 0 \tag{1}$$

Una prueba geométrica de la que se puede encontrar aquí: Límite, la solución en forma inusual

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \tag{2}$$

Una prueba geométrica de la que se puede encontrar aquí: Encontrar el límite de $(1-\cos(x))/x$ $x\to 0$ con el teorema del sándwich

Para combinar los dos:

$$\tan x - x = \frac{\sin x - x \cos x}{\cos x} = \frac{(\sin x - x) + x(1 - \cos x)}{\cos x}$$