Vakil 14.2.E: $L \approx O_X(div(s))$ para que sea una sección racional.

Question

Estoy trabajando en el Ch 14 de Vakil (versión 2313 de marzo) en las poleas invertibles y tengo problemas con el 14.2.E.

La pregunta (en notación por definir) es esta: ¿cómo muestro que cada punto en el soporte de $D$ está contenida en algún conjunto de $B$ ?

Deje que $X$ ser un esquema normal Noetheriano, $L$ una gavilla invertible en $X$ y $s$ una sección racional, $D = div(s)$ . Esto significa que $s$ es una clase de equivalencia de secciones sobre conjuntos abiertos que contienen todos los puntos asociados de $X$ . Nos asociamos a $D$ una gavilla $O_X(D)$ definido por $$O_X(D)(U) = \{t \in K(X):\: div \rvert_ {U}(t)+D \geq 0\},$$ donde $K(X)$ es el anillo de cociente total de $X,$ que coincide con el campo de función si $X$ es irreducible.

Parte del ejercicio para mostrar que $B = \{open\: U \subset X:\: O(div(s)) \rvert_U \approx O_U \}$ es una base para la topología de Zariski en X. En cada uno de estos conjuntos es fácil ver que $O_X(D)(U) \longrightarrow O_X(U) \longrightarrow L(U)$ definido por $t \longmapsto t \longmapsto ts$ es un isomorfismo, así que al final encontramos que $O_X(div (s)) \approx L$ .

El complemento $U$ de (el apoyo de) $D$ es un conjunto tan abierto; las secciones sobre $U$ son aquellos $t \in K(X)$ que tienen una valoración no negativa en cada punto de la dimensión 1 del código contenido en $U$ . Desde $X$ es normal, $O_X(U)$ es normal, así que el lema de Hartog le da a eso $$O_X(U) = \bigcap_ {q \in U, codim(q)=1}O_{X,q},$$ así que encontramos que $t \in O_X(U).$ Tomando distinguidos conjuntos abiertos en $U$ da una base en U, así que sólo tenemos que considerar esos puntos en el apoyo de $D$ .

Supongamos que $p \in D$ . Si $p$ La mentira es sólo un divisor principal $Y$ en $D$ entonces el complemento $U$ de los otros componentes es un conjunto abierto sobre el cual la única limitación de las secciones de $O_X(D)$ es que satisfacen $v_Y(t)+v_Y(s) \geq 0$ ( $v_Y$ siendo la valoración en $O_{X,Y}$ ), así que debería ser capaz de encontrar un isomorfismo de $O_X(D)(U) \approx O_X(U)$ obtenido multiplicando por una potencia apropiada de un uniformador en $O_{X,Y}$ pero no estoy seguro de cómo hacer que esto funcione. Para aquellos $p$ contenida en más de un componente irreductible de $D$ las cosas parecen peores porque podría ser que $p$ se genera a dos divisores principales donde $s$ tiene diferentes órdenes de no cero. Entonces, ¿quiero inyectar en el producto directo de los puntos asociados...?

Espero haber dejado mis puntos de confusión suficientemente claros.

Answer 1

No sabía cómo levantar el isomorfismo obvio $O_X(D)_Y \approx O_{X,Y}$ en un punto de la codimensión 1 $Y$ a un isomorfismo de un barrio de $Y$ . En última instancia, es posible hacer esto porque el anillo total de fracciones da un solo ámbito para considerar las funciones que provienen de diferentes fuentes.

Reemplazar $X$ por uno de sus barrios afines de $p.$ Desde $X$ es regular en la codimensión 1, $O_{X,Y}$ es un DVR. Cualquier uniformador $f_Y$ puede considerarse en $K(X).$ Se puede demostrar que los principales divisores de Weil de $X$ a través de $p$ corresponden bijectivamente a inyectar en los divisores primarios de Weil de $Spec(O_{X,p}),$ así que $Y$ es el único componente del divisor de $f_Y$ considerado como una función en $X$ . Deje que $$U_Y := X \setminus \{ \text {all components of $ div(f) $ except $ Y $}\}.$$ Entonces, dejar $e_Y := v_Y(s),$ el conjunto abierto $U := \bigcap_ {Y \ni p} U_Y$ es un barrio de $p$ en el cual $$t \longmapsto t \prod_ {Y \ni p}f_Y^{-e_Y}$$ es un isomorfismo $O_X(D)(U) \longrightarrow O_X(U).$ A partir de aquí es sencillo demostrar que de hecho $O_X(D) \rvert_U \approx O_U$ para todos $U$ en una base para la topología de $X$ y el resto del ejercicio sigue.