Número de soluciones de $\sin (2x)+\cos (2x)+\sin x+\cos x=1$

Question

Encontrar el número de soluciones de $\sin (2x)+\cos (2x)+\sin x+\cos x=1$ $\left [0 \:\: 2\pi\right]$

La ecuación puede escribirse como:

$$\sin (2x)+1-2 \sin^2x+\sin x+\cos x=1$$ $\implies$

$$\sin x+\cos x=2\sin^2 x-2 \sin x\cos x$$ $\implies$

$$\sin x+\cos x=2\sin x\left(\sin x-\cos x\right)$$

$\implies$

$$\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=2\sin x$$ $\implies$

$$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=-2\sin x$$

$$\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)=-2\sin x$$

Ahora me han llamado los gráficos de $\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)$ y $-2\sin x$ y hay dos soluciones.

¿Hay alguna otra forma?

Answer 1

Otra forma sería dejar que $t=\tan(\frac x2)$ y $$t^4+2 t^3+8 t^2-6 t-1=0$$ Now, using the formulae for the quartic equation, the discriminant is $\Delta=-309248$ que demuestra que la ecuación tiene dos raíces reales distintas y dos complejo conjugado no bienes raíces.

Answer 2

Creo que su razonamiento con los gráficos no es lo correcto porque si es así,

¿por qué no dibujar la gráfica de $f(x)=\sin2x+\cos2x+\sin{x}+\cos{x}-1$?

Por el Claude sugerencia de su ecuación $$\frac{1+\tan{x}}{1-\tan{x}}=-2\sin{x}$$ after substitution $\tan\frac{x}{2}=t$ obtenemos $$\frac{1+\frac{2t}{1-t^2}}{1-\frac{2t}{1-t^2}}=-2\cdot\frac{2t}{1+t^2}$$ o $$t^4+2t^3+8t^2-6t-1=0.$$

Ahora, vamos a $$f(t)=t^4+2t^3+8t^2-6t-1.$$ Así, $$f''(t)=12t^2+12t+16>0,$$ which says that $f$ es una función convexa.

Por lo tanto, un gráfico de $f$ e las $t$-eje tienen dos puntos en común máximo.

Pero $f(0)<0$, que dice que $f$ tiene dos raíces exactamente y desde el período de $\tan$$\pi$, obtenemos que la ecuación tiene dos raíces exactamente en $[0,2\pi]$.

Hecho!