¿Por qué los objetos parecen más pequeños cuando se ven a distancia?

Question

Sí, lo sé todo sobre la perspectiva (soy un artista). Incluso tengo algunos conocimientos básicos de geometría descriptiva. Sé cómo obras . Mi pregunta es más sobre por qué funciona.

Tengo la sospecha de que tiene algo que ver con la curvatura del espacio. Sin embargo, no estoy seguro de que los dos conceptos estén relacionados.

Otra cosa que me ha estado molestando por un tiempo (esto puede o no estar relacionado con la pregunta: por favor, ilumíname) es la relación del punto de fuga con el horizonte:

Estrictamente hablando, el horizonte geométrico es donde está el punto de fuga. El horizonte real es un poco más bajo, pero la diferencia es insignificante.

Por lo tanto, si se dibuja una calle perfectamente recta alineada con edificios de igual tamaño que se extienden hasta el horizonte, no debería ser posible ver nada más allá de 2,9 millas (la distancia al horizonte): todas las líneas paralelas se fusionarán - y se desvanecerán. Y aún así, si los edificios son lo suficientemente grandes, serán visibles más allá de ese punto.

Lo que sugeriría que los objetos más pequeños se convierten en una fuente puntual antes de llegan a la verdadero punto de fuga, y que el verdadero El punto de fuga está mucho más lejos de 3,5 kilómetros (por lo que podemos ver la forma real de la Luna, así como algunos de los planetas: no son fuentes puntuales, son discos reales). Incluso me atrevería a afirmar que la razón por la que vemos las estrellas como fuentes puntuales es que no son lo suficientemente grandes; y la Galaxia de Andrómeda, que aparece a simple vista como una nube, no es una fuente puntual; lo que me lleva a creer que la absoluto El punto de fuga está en un infinito distancia del observador.

Con todo lo anterior en mente, mi pregunta sigue siendo - ¿POR QUÉ los objetos parecen más pequeños en la distancia?

P.D. "Así es como funciona la perspectiva" es no una buena respuesta en este caso a menos que la física no tiene nada más que aportar en esta coyuntura.

P.P.S. Sí, sobre esos ángulos (la luz que golpea el ojo, etc.). ¿Por qué el ángulo debe estrecharse a medida que aumenta la distancia? Bueno, para empezar, así es como nuestro cerebro interpreta la señal que recibe del ojo. Me atrevo a decir que si fuera al revés (es decir, si el ángulo se hiciera más amplio a medida que la distancia aumenta), nuestro cerebro encontraría una forma de ajustarse, y todos diríamos "Es más grande porque está más lejos", así es como funciona ").

Answer 1

Se trata de los ángulos que forma el objeto cuando la luz de éste entra en el ojo.

Considere este crudo garabato de un ojo mirando a dos árboles de idéntico tamaño. La luz que entra en el ojo desde el árbol más cercano forma un ángulo más amplio en el ojo, y el árbol más lejano forma un ángulo más agudo. El cerebro interpreta esto como que el árbol más lejano parece ser más pequeño.

Intenta esto sal durante la luna llena. Tome una moneda de 25 centavos (o una moneda de tamaño equivalente si no está en los EE.UU.) y manténgala a distancia. Mueva la moneda sobre la luna. ¿La moneda cubre la luna? También puedes usar monedas más pequeñas y sostenerlas más cerca.

Arriba hay otro garabato crudo, y aquí es una foto. La moneda y la luna parecen tener el mismo tamaño porque los ángulos que forman en el ojo son iguales.

Answer 2

Es porque la luz viaja en rayos más o menos rectos.

Asumamos por simplicidad que tu ojo es como una cámara estenopeica; tiene un estenopeico en el frente y una pantalla en la parte posterior. Entonces se forma una imagen por los rayos de luz que pasan a través del estenopo.

(de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pinhole-camera.png )

Considere dos puntos en un objeto, como la parte superior e inferior de un árbol. Si mueves un objeto más lejos, los dos puntos permanecen a la misma distancia uno del otro pero están más lejos del estenopo, y por lo tanto el ángulo que hace con el estenopo es más pequeño. Pero la pantalla sigue estando a la misma distancia del estenopo, y por lo tanto la imagen es más pequeña. (Véase también este artículo relacionado de la BBC .)

En cuanto a su pregunta sobre el punto de fuga, no está nada claro lo que está preguntando. En el dibujo en perspectiva tenemos la proyección de la escena en una pantalla plana a través de un origen (el ojo). Bajo la proyección, considera todas las líneas que no pasan por el origen. Cada una de ellas se mapea a una línea, y cualquiera de las dos que se intersectan se mapea a las líneas que se intersectan. Si estipulamos que dos de ellas que son paralelas se intersectan en un punto en el infinito, entonces es aún mejor porque entonces dos líneas cualesquiera se intersectan en un punto único. Además, las líneas paralelas en una superficie horizontal se intersectan en el mismo punto del infinito, que después de la proyección se mapea a un punto en la pantalla, a través del cual pasan las imágenes de todas esas líneas paralelas.

Los puntos del infinito no existen en el modelo euclidiano del mundo, así como las líneas paralelas no se cruzan. Es sólo que si las añadimos conceptualmente al modelo euclidiano obtenemos el espacio proyectivo que tiene buenas propiedades, incluyendo una noción significativa del horizonte como imagen de alguna línea de puntos en el infinito. Esto nos permite dibujar dibujos en perspectiva, lo que es básicamente dibujar la imagen en la pantalla dado lo que sabemos sobre las líneas de la escena.

La superficie de la Tierra no es plana sino ligeramente curvada, por lo que no podemos ver toda la superficie de la Tierra, y vemos un horizonte ligeramente curvado. Esto no tiene nada que ver con la línea en el infinito en los dibujos de perspectiva, ya que esa línea sigue ahí, sólo que no es relevante para el horizonte que vemos entre la superficie de la Tierra y el cielo. Si aquí es de donde obtuviste tus "2,9 millas", entonces es simplemente la distancia en la superficie de la tierra que puedes ver, lo que por supuesto no está relacionado con el hecho de que puedes ver todo el camino hasta las estrellas.

(de https://en.wikipedia.org/wiki/Horizon#/media/File:Horizons.svg )

En el diagrama anterior, el horizonte astronómico corresponde a la línea del infinito si estuvieras parado en una superficie realmente plana. El verdadero horizonte es lo que percibes como la división entre el cielo y el océano, ya que la Tierra no es plana. El horizonte visible es lo que percibes como la división entre el cielo y la tierra ya que normalmente hay muchas cosas como árboles en la tierra que bloquean la vista de la superficie real del suelo.

En resumen, los dibujos en perspectiva no funcionan para las cosas que están demasiado lejos en la superficie de la Tierra porque asumir una superficie de suelo perfectamente plana.

Answer 3

Un ángulo es sólo una medida de la relación entre la longitud del arco de un segmento de un círculo y el radio de dicho círculo. Un objeto (digamos un lápiz) de longitud $30~\text{cm}$ siempre será de esa longitud, pero la distancia del lápiz a tu ojo puede cambiar.

La definición de un ángulo es la longitud del arco, $s$ en el radio, $r$

Aunque el lápiz no cambia su tamaño, el radio aumenta a medida que lo alejas del ojo, por lo que el denominador aumenta mientras que el numerador permanece igual, de modo que la fracción resulta en un valor más pequeño (es decir, un ángulo más pequeño). El cerebro percibe las cosas por el ángulo del que proviene la luz (como usted sabe y otros han señalado). Esto se debe a que el cerebro estima los tamaños por el porcentaje del campo de visión que ocupa el objeto. Es decir, lo grande que es su ángulo comparado con todo el ángulo que podemos ver (aprox. $180º$ ya que podemos ver casi todo lo que tenemos delante de nosotros).

No hay límite, como dices, para el alcance real de la vista, pero hay un límite para el ángulo en el que la luz entra en nuestros ojos. Una partícula de polvo puede estar literalmente a 1 cm de distancia del ojo, pero como su longitud es tan pequeña, el ángulo se mantiene pequeño, así que la luz que viene de la parte superior de la partícula y de la parte inferior es indistinguible de la otra. Por otro lado, la Luna, a pesar de estar a miles de kilómetros de distancia, también tiene cientos de kilómetros de ancho.

A estos dos ejemplos se les pueden asignar valores:

La longitud de las partículas de polvo es $2.5~\mu\text{m} = 2.5 \cdot 10^{-6}~\text{m}$ (buscó este tamaño en Google). Así que, si la partícula es $1~\text{cm} = 10^{-2}~\text{m}$ lejos de tu ojo, el ángulo en el que los caminos de la luz vienen de arriba y abajo forman un ángulo de $\frac{s}{r} = \frac{2.5 \cdot 10^{-6}}{10^{-2}} = 2.5 \cdot 10^{-4}~\text{rad}$ . Esto es, para decirlo simplemente, menos que la resolución de nuestros ojos.

Mientras que, para el ejemplo de la Luna:

La distancia de la Luna a la Tierra $384 000~\text{km}$ diremos $3.8 \cdot 10^{8}~\text{m}$ para simplificar. El diámetro de la luna $3,474~\text{km}$ así que $3.5 \cdot 10^{6}~\text{m}$ de nuevo para simplificar. El ángulo aquí es sobre $0.01~\text{rad}$ que se trata de $0.5~\text{degrees}$ . Ya que toda nuestra perspectiva es casi $180º$ Esto se trata de $0.2\%$ de nuestro campo de visión, pequeño, pero considerable, sin embargo.

¡Espero que esto ayude!

Answer 4

TLDR

Busca en el espacio de Euclides y Minkowski.

La perspectiva y la forma del espacio

La perspectiva geométrica funciona porque vivimos en un espacio tridimensional casi euclidiano. En tal espacio, por definición, se aplican las conocidas reglas de la geometría tridimensional y la perspectiva se desprende de las reglas de la geometría.

Podemos imaginar y describir otros espacios en los que las "reglas familiares de la geometría" no se aplican y en estos espacios nuestras reglas de perspectiva no funcionarían.

En la actualidad la mejor descripción matemática del espacio en el que vivimos es la del espacio de Minkowski, según la Relatividad Especial. El espacio de Minkowski está deformado del espacio euclidiano por la densidad de masa y energía. Pero, por aquí, el espacio de Minkowski es muy parecido al de Euclides. El lente gravitacional es una característica de la Relatividad Especial donde la perspectiva normal no se aplica.

Puntos de fuga en tu dibujo

Creo que es más fácil pensar en un punto de fuga como un punto en su superficie de dibujo donde las proyecciones 2D de un conjunto de líneas paralelas (3D) en la escena convergen. Las líneas paralelas en el espacio euclidiano 2D y 3D no convergen, pero las líneas proyectadas en su plano de dibujo irradiarán desde un punto en ese plano.

Por consiguiente, la posición de cualquier punto de fuga en tu dibujo depende totalmente de: tu punto de vista, la dirección del centro de tu escena, el campo de visión y la dirección "hacia arriba" en tu película.

Por ejemplo, si miras un poco hacia abajo, como en un estanque de lirios, entonces el punto de fuga del horizonte en tu foto estará por encima del centro de la misma. Si miras un poco hacia arriba, entonces lo contrario es cierto.

Puntos en el infinito

Cuando proyectamos un par de líneas paralelas a una esfera imaginaria en el infinito las líneas se intersectarán con la esfera en puntos distintos . Si proyecta esos puntos al plano de dibujo desde su punto de vista, los puntos proyectados tendrán efectivamente una separación cero. Esto se debe a que mientras que algo dividido por el infinito es indefinido, podemos tomarlo como indistinguible de cero, aquí.

Efectos ópticos

Las reglas de la perspectiva aplican líneas verdaderas desde la escena, a través del plano de dibujo, a su punto de vista. Pero la luz sólo viaja en línea recta en un medio uniforme. Por eso funcionan los lentes: la velocidad de la luz es más lenta en el vidrio que en el aire. Por eso podemos obtener distorsión de calor y espejismos en el aire. Podríamos argumentar que el espacio parece ser no euclidiano en estas condiciones, pero esto se debe a que el rayo de luz no es recto.

Answer 5

Sí, sobre esos ángulos (la luz que golpea el ojo, etc.). ¿Por qué el ángulo debe estrecharse a medida que aumenta la distancia? Bueno, para empezar, así es como nuestro cerebro interpreta la señal que recibe del ojo. Me atrevo a decir que si fuera al revés (es decir, si el ángulo se hiciera más ancho a medida que la distancia aumentaba), nuestro cerebro encontraría una forma de ajustarse, y todos diríamos "Es más grande porque está más lejos, así es como funciona").

Creo que lo has entendido un poco al revés. El hecho de que el ángulo se haga más estrecho cuando un objeto se aleja es una consecuencia de la GEOMETRÍA en la que vivimos. Vivimos en un espacio geométrico donde los ángulos se reducen cuando las cosas se alejan más. Esto es algo que puede ser probado usando los postulados de la geometría euclidiana, Y un hecho experimental.

Ahora, ¿por qué nuestro cerebro interpreta que los pequeños ángulos significan "lejos"? Porque hemos evolucionado para que nuestros sentidos sean ÚTILES. Los roedores que interpretaban que los grandes leones están lejos están todos muertos. Hay una fuerte presión evolutiva para que nuestro cerebro interprete nuestros sentidos para reflejar la realidad.

Como dijiste, si viviéramos en un espacio geométrico donde los ángulos se agrandaran cuando las cosas estuvieran más lejos, nuestros cerebros habrían evolucionado para interpretar la distancia apropiadamente. Pero no vivimos en ese tipo de espacio; vivimos en el espacio euclidiano. Se puede decir porque en nuestro espacio, las líneas paralelas no se cruzan y los ángulos de los triángulos suman 180 grados. Una de las consecuencias matemáticas de esto es que las cosas que están más lejos parecen más pequeñas.