¿Qué es un medidor en una teoría de gauge?

Question

Como yo estudio Jackson, estoy realmente confundido con algunas de sus definiciones clave. Aquí es lo que yo estoy confundido. Cuando sustituimos el campo eléctrico y el campo magnético en términos de la escalares y vectores potenciales de la no homogénea de las ecuaciones de Maxwell, tenemos dos junto homogéneas ecuaciones de onda en términos de$\mathbf{A}$$\phi$. Así, el libro de los estados que desacoplar ellos, lo que sin duda hace que nuestras ecuaciones más simples de resolver, hemos introducido medidor de transformaciones como la adición de un gradiente de a $\mathbf{A}$ y la adición de una constante a $\phi$ no afectaría a su significado. Mi pregunta es que uno es un medidor y por qué en la expresión de un medidor de transformación $$\mathbf{A'}=\mathbf{A+\nabla \gamma}.$$ Somewhere in the internet, I read that $\gamma$ is a gauge function. So, is $\gamma$ un medidor, si sí, entonces, ¿por qué?

Básicamente: ¿Qué es un indicador?

Answer 1

En el uso normal, es un indicador de una determinada elección, o la especificación, de vectores y potenciales escalares $\mathbf A$ $\phi$ , lo que generará un conjunto dado de la fuerza física de los campos de $\mathbf E$$\mathbf B$.

Más específicamente, una situación física es especificado por los campos eléctricos y magnéticos, $\mathbf E$$\mathbf B$. Un conjunto de potencialidades $\mathbf A$ $\phi$ genera los campos de fuerza si obedece a las ecuaciones \begin{align} \mathbf B & =\nabla\times\mathbf A \\ \mathbf E & = -\nabla\phi-\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}. \end{align} Como usted sabe, para un determinado conjunto de campos de fuerza, el potencial no es único. Un indicador es un requisito adicional en los potenciales. Un buen ejemplo de un indicador es el gauge de Coulomb, que en su mayoría es encarnada por el requisito de que $\mathbf A$ también se divergenceless, $$\nabla \times\mathbf A=0.$$ "El gauge de Coulomb" se refiere al conjunto de potencialidades que satisfacer este.

Los medidores se suele considerar como la especificación de los potenciales de forma única. Esto no es realmente cierto, pero tienden a especificar los potenciales "de forma exclusiva hasta física razonable supuestos". El gauge de Coulomb es un buen ejemplo de esto: el medidor de transformación a \begin{align} \mathbf A'&=\mathbf A+\nabla \chi(\mathbf r)\\ \phi'&=\phi \end{align} conserva los campos físicos, y si $$\nabla^2 \chi(\mathbf r)=0$$ a continuación, se conserva también el indicador condición de que $\nabla \times\mathbf A'=0$. Esto no es ideal para la unicidad, porque hay una gran cantidad de armónicos de las funciones que satisfacen la condición anterior. Sin embargo, para que una función realmente ser armónico a lo largo de todo el espacio, sin excepciones y sin singularidades, la diferencia que debe existir en el infinito, que no es realmente aceptable en la mayoría de los casos. Debido a eso, diciendo que $\mathbf A$ es el vector de potencial en el gauge de Coulomb por lo general significa que $\nabla \times\mathbf A=0$ y que tal 'infinito-auto-energía", términos que se han establecido a cero; esto es generalmente un conjunto único de potenciales en situaciones en las que la energía en la física de los campos de sí mismos no es infinito.

Vale la pena señalar que, en ciertas situaciones, la palabra de calibre puede ser naturalmente libre de esta ambigüedad. En mi campo, de fuerte campo de la física, las palabras "de medir la longitud de' y 'la velocidad de carga' significan que la energía total de un electrón interactúa con un láser de campo, en la posición $\mathbf r$ y con el ímpetu $\mathbf p$, es de la forma $$E=\tfrac1{2m}\mathbf p^2-e\mathbf r\cdot \mathbf E$$ y $$E=\tfrac1{2m}\left(\mathbf p-e\mathbf A\right)^2,$$ respectivamente. Para un campo uniforme (es decir en el "dipolo aproximación") las dos energías son equivalentes a través de un medidor de transformación. Sin embargo, aquí la palabra "calibre" es completamente ambigua, excepto para un total constante de energía que pueden pasar por alto.

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Hasta ahora por cuestiones técnicas. Creo, sin embargo, que mucho de lo que te preocupa es la palabra 'calibre' en sí, que es de hecho una extraña elección. En el uso diario, un indicador es una forma genérica de metro o de línea. La frase "la invariancia gauge' parece haber llegado a la física a través de alemán, Hermann Weyl el uso de la palabra 'Eichinvarianz', que más o menos significa "la invariancia de escala' o 'la invariancia gauge" (en el sentido de que la elección de un instrumento de medición (calibre) determina la medida de los valores físicos en un ambiente dado, es decir, determina la escala).

Esta invariancia bajo cambios de escala es exactamente (parte de) la (técnico) invarianza de norma en la relatividad general, que es invariante bajo transformaciones de coordenadas.

Nota, sin embargo, que mi fuente de esto es la Wikipedia, así que si alguien puede hablar con una fuente mejor sería fantástico.

Answer 2

Continua simetrías de la acción de un sistema global, es decir, no dependen de dónde actúan, dará lugar a través del teorema de Noether para cantidades conservadas. Por ejemplo, una traducción en tiempo $t \to t+\epsilon$ $\epsilon \in \mathbb{R}$ es una transformación global, y conduce a la conservación de la energía.

Por otro lado, si una acción es invariante bajo local o medidor de transformaciones que no dependen del punto en el que actúan, a continuación, el sistema posee una redundancia. Por ejemplo, en el caso de,

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

que describe el electromagnetismo, donde $F_{\mu\nu} = \partial_{[\mu}A_{\nu]}$, tenemos un medidor de simetría,

$$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \epsilon(x)$$

desde el campo de fuerza de la $F$ será el mismo. Para convencerse, escribir fuera del campo de fuerza de forma explícita:

$$F'_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + \partial_\mu\partial_\nu \epsilon(x) - \partial_\nu\partial_\mu\epsilon(x)=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\nu = F_{\mu\nu}$$

desde $[\partial_\mu,\partial_\nu]\epsilon=0$. Así que, si tengo un sistema con un 4-potencial de $A_\mu$, mi acción no puede distinguir del sistema con $A_\mu$ diferentes por un total derivado $\partial_\mu \epsilon(x)$. Para ir más allá de su pregunta ahora, el aviso de un medidor de simetría nos permite simplificar el problema a menudo. Si elegimos para identificar a $A_\mu$ $A'_\mu$ como el mismo sistema, entonces para cualquier $A_\mu$ siempre podemos hacerla cumplir,

$$\partial_\mu A^\mu =0$$

al elegir el derecho de $\epsilon(x)$ tal que $\partial_\mu \partial^\mu \epsilon(x)=-\partial_\mu A^\mu$. Llamamos a los ex de la 'carga' o 'indicador de condición.' Este particular calibre es debido a Lorenz.