Según http://functions.wolfram.com/06.05.29.0006.01 para cada $x\geq 2$ es $$ \left( \frac{x}{e}\right)^{x-1} \leq \Gamma(x) \leq \left( \frac{x}{2}\right)^{x-1}, $$ donde $\Gamma$ es el Función gamma . ¿Cómo se puede demostrar esto?
Actualización 1: Según Qi y Chen (véase la ec. (10)), se cumple lo siguiente:
$$ \ln \Gamma(x) = (x-1)(\ln x - 1) + \phi(x), $$ donde $$ \phi(x) = \int_0^\infty \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{e^{t}-1}\right) e^{-t} \frac{1-e^{-(x-1)t}}{t}\mathrm{d}t, $$ así, (para el lado izquierdo de la desigualdad dada) basta con demostrar que $\phi(x)\geq 0$ para todos $x\geq 2$ porque se escribe de forma equivalente como $(x-1)(\ln x - 1)\leq \ln \Gamma(x)$ .
Actualización 2: Tomamos la derivada de $\phi$ que es: $$ \phi'(x)=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{e^{t}-1}\right) e^{-t(1+x)}\mathrm{d}t $$ y observe que la función integrada es positiva para todo $t>0$ y $x\geq 2$ Por lo tanto $\phi'(x)>0$ y $\phi$ aumenta con $\phi(2)=0.3069$ (con MATLAB, pero supongo que debe haber alguna forma de demostrar analíticamente que $\phi(2)>0$ ). Entonces, hemos demostrado que $\phi(x)\geq 0$ para todos $x\geq 2$ . ¿Alguna idea mejor?
Todavía tenemos que demostrar el lado derecho de la desigualdad dada.
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Muy posiblemente de es.wikipedia.org/wiki/
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@Travis El lado izquierdo de la desigualdad de Stirling se escribe como $$\sqrt{2\pi x} \left(\frac{x}{e}\right)^x \leq \Gamma(x+1)$$ para $x\in\mathbb{N}$ que demuestra algo similar a la afirmación sobre los enteros con $x\geq 2$ .
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Se puede ver directamente que el integrando de $\phi(x)$ es no negativo (para $x\geqslant 1$ ). $\alpha = x-1 \geqslant 0$ Por lo tanto $1-e^{-\alpha t} \geqslant 0$ para $t \geqslant 0$ . También, $e^t \geqslant 1+t$ para $t\in\mathbb{R}$ Por lo tanto, para $t > 0$ tenemos $\frac{1}{t} - \frac{1}{e^t-1} = \frac{e^t-1-t}{t(e^t-1)} \geqslant 0$ (en realidad, $> 0$ ).
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@DanielFischer ¡Tienes razón, muchas gracias!