Número principal en una expresión polinómica

Question

Se alegrará con una pequeña sugerencia: sea x y n un número entero positivo, de modo que$1+x+x^2+\dots+x^{n-1}$ sea un número primo y luego muestre que n es primo

Answer 1

Sugerencia $\ $ La secuencia de $\rm\:f_n = (x^n-1)/(x-1)\:$ es un divisibilidad de la secuencia, es decir,$\rm\:m\:|\:n\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:f_m\:|\:f_n.\:$

En realidad es un fuerte divisibilidad de la secuencia, es decir,$\rm\:(f_m,f_n) = f_{\:\!(m,n)},\:$, lo que implica una íntima relación entre las propiedades de la divisibilidad de la $\rm\:f_n\:$ y enteros $\rm\:n\:$ (de modo que, en particular, la relación entre las nociones asociadas con la divisibilidad, tales como irreductible = prime).

Answer 2

Dejar $n = kl$. Considera $$ (1 + x + ... + x ^ {k-1}) (1 + x ^ k + x ^ {2k} + ... + x ^ {(l-1) k}) = ( 1 + x + ... + x ^ {n-1}) $$

Answer 3

Suponiendo que quisieras decir que$1+x+x^2+\ldots+x^{n-1}$ es primo, ten en cuenta que esta suma es$\frac{x^n-1}{x-1}$. Si$n=ab$, tenemos$$\frac{x^n-1}{x-1}=\frac{(x^a)^b-1}{x-1}=\frac{(x^a-1)(1+x^a+x^{2a}+\ldots+x^{(b-1)a})}{x-1}\;,$$ and $ \ dfrac {x ^ a-1} {x-1} = \; $?