¿Por qué$R^{op}$ utilizado en la definición de "categoría de$R$ - módulos"?

Question

El día de hoy, yo estaba pensando: "Oh, $R$- módulo es sólo un aditivo functor $R \rightarrow \mathbf{Ab}.$" de todos Modos, yo tenía un poco de un leer más en nLab, y dice:

Para cualquier pequeño $\mathbf{Ab}$enriquecido con la categoría de $R$, la enriquecido presheaf categoría $[R^{op},\mathbf{Ab}]$ es, por supuesto, $\mathbf{Ab}$enriquecidos. Si $R$ es un anillo, como en el anterior, entonces $[R^{op},\mathbf{Ab}]$ es la categoría de $R$-módulos.

Esto va a sonar tonto, pero no entiendo el por qué de su $R^{op}$ en lugar de $R$. Explicación, cualquier persona?

Answer 1

$[R^{op}, \text{Ab}]$ es la categoría de derecho $R$-módulos, que es equivalente a la categoría de la izquierda $R^{op}$-módulos. La razón para preferir tomar a la derecha módulos de aquí es la misma razón por la que presheaves son contravariante functors y no covariante functors: es así que el Yoneda de incrustación, que en este caso es $R \to [R^{op}, \text{Ab}]$, es covariante. En particular, el derecho de la unidad $R$-módulo, es decir, $R$ sí equipado con derecho a la multiplicación, ha endomorfismo $R$ de esta forma. (La unidad de la izquierda $R$-módulo, por el contrario, ha endomorfismo anillo de $R^{op}$.)