¿Por qué es inestable un anillo conmutativo con un número infinito de elementos idempotentes?

Question

En un libro de teoría de modelos encontré la siguiente afirmación:

Un anillo conmutativo con un número infinito de elementos idempotentes inestable.

Todavía no he conseguido probarlo. Como la estabilidad en el sentido teórico del modelo es algo difícil, me gustaría que alguien me ayudara a responder a la siguiente pregunta, que trae consigo el éxito:

En un anillo conmutativo con un conjunto infinito $I$ de elementos idempotentes se puede definir un orden parcial en $I$ por $a\leq b $ si $a\cdot b=a$ . ¿Es posible, sin embargo, extraer una cadena infinita totalmente ordenada de $I$ ?

Espero que la respuesta sea positiva, porque eso llevaría a la deseada inestabilidad...

¡gracias por leer y pensar!

Answer 1

No sé si es de algún interés, pero para aquellos que no creen en el axioma de la elección, hay una forma más directa de probar la afirmación anterior:

Para dos idempotentes arbitrarios $a$ y $b$ dejar $inf(a,b):=ab$ y $sup(a,b):=a+b-ab$ . Sabiendo esto, es bastante sencillo demostrar que toda cadena finita puede ser extendida por otro idempotente.

Dejemos que $a_n>\cdots >a_0$ sea cualquier cadena y $c\notin D:=\{a_0,\cdots, a_n\}\cup\bigcup_{i=1\cdots n-1}\{a_k-a_i+a_{i-1}\mid n\geq k>i\}$ otro idempotente (que existe ya que tenemos infinitos).

Entonces puedes aumentar la longitud de la cadena de la siguiente manera:

caso 1: $ca_n=c$ , entonces hemos terminado por $a_0>\cdots>a_n>c$ .

caso 2: $ca_n\notin \{c,a_n\}$ . Entonces $ca_n<a_n$ y hemos terminado.

caso 3: $ca_n=a_n$ . Entonces dejemos que $k:=max_{0\leq i\leq n}\{ca_i=a_i\}$ .

caso 3.1: Si $k=n$ hemos terminado.

caso 3.2.1: Si $k<n$ y $a_{k+1}b\neq a_k$ también lo hacemos por $a_n>\cdots>a_{k+1}>ba_{k+1}>a_k>\cdots >a_0$

caso 3.2.2: Supongamos que $a_{k+1}b=a_k$ . Entonces $sup(a_{k+1},b)=:b'$ todavía está en $D$ y $b'>a_{k+1}$ . Ahora podemos empezar de nuevo y por la finitud de la cadena recibiremos otro idempotente ampliando el tamaño de la cadena.

Algunas observaciones/consecuencias:

1.) $sup$ y $inf$ en los anillos booleanos son exactamente la conjunción y la disyunción.

2.) Sea $(X,\tau)$ sea un espacio topológico donde $\tau$ consiste en conjuntos cerrados. Entonces, si $X$ es compacto por lo que $|\tau |<\aleph_0$ .

Hasta ahora, s.

Answer 2

Dejemos que $$ J=\{\text{ monotone chains of projections }\}, $$ ordenados por inclusión. Si tomamos una cadena de cadenas, entonces tiene un límite superior (a saber, la unión); por lo que se aplica el lema de Zorn y hay una cadena máxima $\{a_\beta\}_{\beta\in B}$ .

Para terminar, tenemos que argumentar que esta cadena máxima tiene que ser infinita. Supongamos por el contrario que $B$ es finito. Así que nuestra cadena máxima es de la forma $a_1\geq\cdots \geq a_n$ . Si $a_1$ no es una proyección máxima, entonces existe una proyección $a_{0}$ con $a_{0}\geq a_1$ , $a_{0}\ne a_1$ y esto contradice la maximalidad de la cadena. Con un razonamiento similar demostramos que $a_n$ tiene que ser una proyección mínima.

Ahora dejemos que $$ p_1=a_1-a_2, \ p_2=a_2-a_3,\ldots,\ p_{n-1}=a_{n-1}-a_n, \ \ p_n=a_n. $$ Cada uno de ellos es un idempotente, y $p_kp_j=0$ si $k\ne j$ . Así podemos ver que cada cadena de idempotentes está en correspondencia con una "partición de la unidad" así $\{p_j\}$ .

La maximalidad de la cadena $\{a_k\}_{k=1}^n$ equivale al hecho de que todos los $p_k$ son mínimos: si $b\leq p_k$ para un idempotente $b$ entonces $ p_k=b+(p_k-b), $ una suma de dos idempotentes con producto cero, y así $$ p_1,\ldots,p_{k-1},b,p_k-b,p_{k+1},\ldots,p_n $$ sería una cadena más larga de idempotentes mínimos, una contradicción.

Tenga en cuenta también que $\sum_{k=1}^np_k=a_1$ y $a_1$ es un idempotente máximo. Pero resulta que un idempotente maximal tiene que ser máximo: porque si $c,d$ son idempotentes, entonces también lo es $e=c+d-cd$ y tenemos $c\leq e$ , $d\leq e$ y, a continuación, si ambos $c$ y $d$ son máximos, $c=d=e$ . Entonces $a_1$ es el máximo, y $ba_1=b$ para todos los idempotentes $b$ . Así que $$ b=\sum_{k=1}^nbp_k, $$ y la minimidad de cada $p_k$ nos dice que $bp_k$ es $0$ o $p_k$ . Esto implica que sólo hay un número finito de idempotentes en el anillo, una contradicción.

Así, nuestra cadena máxima de idempotentes es infinita.