Periodo de la suma de sinusoides

Question

Digamos que tengo una suma de dos sinusoides así:

$$ Acos(xt+\phi) + Bcos(yt+\delta) $$ ¿Cómo puedo encontrar el período? Sé que para una sola sinusoide el período sería:

$$ Acos(xt+\phi) $$ $$ T = 2\pi/x $$ No puede ser tan sencillo como sumar los dos puntos.

¿Cómo puedo saber si no son periódicas?

Answer 1

Tenga en cuenta que suponer que hay un periodo que encontrar es mucho suponer. Por ejemplo, supongamos que tus dos sinusoides son $\cos{2\pi t}$ y $\cos{\frac{2\pi t}{\sqrt{2}}}$ . Los periodos de las dos funciones son $1$ y $\sqrt{2}$ respectivamente. Si su suma fuera periódica, su período sería el mínimo común múltiplo de $1$ y $\sqrt{2}$ lo que nos permitiría escribir $\sqrt{2}$ como un cociente de números enteros (¡bandera roja!).

Answer 2

Necesitas la identidad suma-producto: $$cos(\theta)+cos(\alpha)=2cos(\frac{\theta+\alpha}{2} )*cos(\frac{\theta-\alpha}{2} )$$ Así que su nuevo período T es una señal "beat" o una sinusoide modulada por otra (algo así como las señales de radio AM), donde $$T_1=\frac{2\pi}{\frac{\theta+\alpha}{2}}=\frac{4\pi}{\theta+\alpha}$$ y $$T_2=\frac{2\pi}{\frac{\theta-\alpha}{2}}=\frac{4\pi}{\theta-\alpha}$$ Parcela o cheque http://en.wikipedia.org/wiki/Beat_(acústica) para comprender la periodicidad de esto.
Otra cosa importante a tener en cuenta es la relación entre A y B, (en radio AM se llama índice de modulación: ver este enlace: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Amplitude_Modulated_Wave-hm-64.svg ), ya que la periodicidad será diferente cuando A>B que B>A.