Resuelve integral usando la fórmula de Plancherel

Question

Esto es de una prueba en el análisis de Fourier:

Definir$$ f(\xi)=\int_0^1 \sqrt{x}\rm{sin}(\xi x) \rm{d}x $ $ Calcular$$ \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \rm{d}x $ $

Comencé con la fórmula de Plancherel, es decir, $$ \ int _ {- \ infty} ^ \ infty | f (x) | ^ 2 \ rm {d} x = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty } ^ \ infty | f (\ xi) | ^ 2 \ rm {d} \ xi $$

pero ahora que? ¿Se supone que debo calcular la integral de$f(\xi)$ de alguna manera o qué debo hacer?

Answer 1

Agregó que la "idea de flujo de la solución.. no sé, tal vez sea útil.

La idea es que la definición de $f(\xi)$ se parece sorprendentemente similar para la definición de la transformada de Fourier. Queremos calcular el $2$-norma de $f(\xi)$, y queremos usar el teorema de Plancherel; Así que necesidad de hacer la transformada de Fourier entran en el juego de alguna manera. Se nota que si la función está integrando es impar, entonces el $\cos x$ parte en la transformada de Fourier se desvanece; por lo que

Definir $\sqrt x$$(-1, 1)$, de modo que es una función impar. Es la transformada de fourier es

$$\mathcal F (t) = \int_{-1}^1 \sqrt x e^{ixt} dx = \int_{-1}^1 \sqrt x \cos(tx) dx + i \int_{-1}^1 \sqrt x \sin(tx) dx = 2i \int_0^1 \sqrt x \sin(tx) dx = 2if(t)$$

Ahora $\mathcal F$ y modificada $\sqrt x$ tienen el mismo $||\cdot||_2$ norma (el teorema de plancherel!) y, básicamente, quiere encontrar a $||\mathcal F||_2$.

Usted debe ser bueno para ir ahora! :-)