Descomposición cohomológica de poleas tensoras

Question

Mi pregunta es similar a este, pero no idénticos. Yo creo que el siguiente sea cierto, pero me gustaría tener una referencia.

(Quasicoherent?) poleas de $\mathcal O_X$ módulos de $E$ $F$ en una variedad proyectiva $X$, $$ H^n(X, E\otimes F) \cong \bigoplus_{p+q=n} H^p(X, E) \otimes H^q(X, F). $$

Esto es verdad, y lo que es una buena referencia o contraejemplo? Si es cierto, es quasicoherent necesario?

Answer 1

No, es falso, considere, por ejemplo,$E=F=\mathcal{O}_X$ en una curva$X$ del género uno.

(Aquí hay algo que es cierto sin embargo: let$p$ y$q$ son los dos mapas de proyección$X \times X \to X$. Then$H^\bullet(X\times X,p^\ast E \otimes q^\ast F) \cong H^\bullet(X,E) \otimes H^\bullet(X,F)$. Hay muchas variantes básicas de este teorema y todas de ellos se llaman la fórmula de Kunneth.)

Answer 2

Es falso. Toma$E = \mathcal O_{\mathbb P^n}(2)$ y$F= \mathcal O_{\mathbb P^n}(-2)$. Entonces, $$ H ^ 0 (\ mathbb P ^ n, \ mathcal O _ {\ mathbb P ^ n}) = H ^ 0 (\ mathbb P ^ n, E \ otimes F) \ ne H ^ 0 (\ mathbb P ^ n, \ mathcal O _ {\ mathbb P ^ n} (2)) \ otimes H ^ 0 (\ mathbb P ^ n, \ mathcal O _ {\ mathbb P ^ n} (- 2)). $$