¿Existe una iteración moderna de la teoría del movimiento browniano de Einstein?

Question

Pregunto esta pregunta en math stackexchange pero no obtuve respuesta. No estoy seguro de cómo mover el mensaje, así que lo vuelvo a publicar aquí.

Estaba discutiendo con mi amigo que Movimiento browniano en el sentido de que el polen se mueve en el fluido, podría explicarse mediante leyes físicas (como $F=ma$ ) y las leyes estadísticas.

Para comprobarlo encontré el documento de Albert Einstein, "Investigaciones sobre la teoría del movimiento browniano", sin embargo me pareció un poco difícil de entender. Empieza con la presión osmótica, de la que no tengo ni idea, y el documento tiene 114 páginas, aunque en letra grande.

Me pregunto si hay una iteración más fácil? ojalá más corta?

Answer 1

Así pues, siempre que quiero encontrar una buena introducción a un concepto de la física, consulto el Revista Americana de Física ya que está lleno de artículos con descripciones inteligentes de fenómenos apropiados para su presentación en cursos universitarios. En este caso, esto produce muchos resultados . En particular, me resultaron muy útiles los tres artículos siguientes:

• Las matemáticas del movimiento browniano y el ruido de Johnson - Daniel Gillepsie [doi] [pdf]
• Dos modelos de movimiento browniano - David Mermin [doi] [pdf]
• Fluctuación y disipación en el movimiento browniano - Daniel Gillepsie [doi] [pdf]

Para completar, daré mi versión de un enfoque moderno para describir el movimiento browniano, donde tomaré prestado mucho de lo anterior.

Si se quiere pensar en términos de las leyes de Newton, adoptaremos un enfoque que en espíritu es el mismo que dio Langevin tres años después del artículo de Einstein (cuya traducción también apareció en el American Journal of Physics [doi] [pdf] ), que da el mismo resultado.

Si imaginamos una partícula de polen suspendida en un líquido, podemos suponer que las fuerzas sobre la partícula de polen vienen dadas por una fuerza de fricción disipativa, y algunos empujones aleatorios por impactos de las moléculas de agua, escribiremos

$$ m \dot v = -\gamma v + f \Gamma(t) $$ donde $\gamma$ es el coeficiente de arrastre, $f$ es alguna constante que tendremos que determinar, y $\Gamma(t)$ representa un proceso gaussiano aleatorio. Es decir, supondremos que el efecto de todos los empujones de las moléculas de agua equivale a extraer una variable aleatoria en cada instante de tiempo. A continuación, el siguiente paso del argumento es hacer que todo este asunto sea coherente con la mecánica estadística, es decir, con el teorema de equipartición, por lo que, en particular, si miramos a tiempos largos, deberíamos tener $$ \frac 12 m \left\langle v^2(\infty) \right \rangle = \frac 12 k T $$ o en palabras, la energía cinética media en tiempos largos debe ser la mitad $kT$ si queremos ser coherentes con la mecánica estadística.

Por lo tanto, sólo tenemos que calcular las fluctuaciones medias de nuestra velocidad para tiempos largos. Puedes seguir los artículos para ver un relato matemático detallado, pero para probar, podemos obtener la respuesta a partir del análisis dimensional.

Nos interesa determinar $ \langle v^2(\infty) \rangle $ y esta respuesta sólo debería depender de los parámetros de nuestra ecuación para las fuerzas que siente la partícula, a saber $m$ , $\gamma$ y $f$ . Las dimensiones de $m$ y $\gamma$ son fáciles de leer en la ecuación

$$ [m] = [M] \qquad [\gamma] = [M T^{-1}] $$

pero qué pasa con eso $f$ ? Bueno, depende de las dimensiones de nuestro término de ruido gaussiano aleatorio, que es un poco complicado. Pero, la forma en que tratamos de describirlo, el ruido se supone que es completamente no correlacionado en el tiempo, así que aunque no lo detallé, esto significa que

$$ \langle \Gamma(t) \Gamma(t') \rangle = \delta(t-t') $$ en detalle. Y como sabemos que $\int dt\, \delta(t) = 1$ tenemos las dimensiones $$ [ \delta(t) ] = [ T^{-1} ] \qquad [\Gamma(t) ] = [T^{-1/2}] $$ que nos dice que $$ [f^2] = [ M L T^{-3} ] $$ lo que parece gracioso, pero nos permite determinar que $$ \langle v^2 \rangle \propto \frac{ f^2 }{ \gamma m } $$ y en particular, supondremos que la constante de proporcionalidad es 1, lo que utilizando la equiparación, nos da $$ m \langle v^2 \rangle = f^2/\gamma = k T $$ o $$ f = \sqrt{ \gamma k T } $$ si hubiéramos hecho todos los cálculos correctamente, la respuesta real resulta ser $$ \boxed{ f = \sqrt{ 2 \gamma k T } } $$ lo cual está muy cerca.

El punto de todo esto, y del documento original de Einstein es que hemos demostrado que las fluctuaciones ( $f$ ) causada por el empuje de las moléculas de agua que no se ven está directamente relacionada con la disipación ( $\gamma$ ) que se puede observar en los experimentos ordinarios con fluidos. Este es el principal resultado de los trabajos de Einstein y Langevin. Con un poco más de trabajo, podemos relacionar esto con la constante de difusión, que nos dice cómo la posición media cuadrática aumenta linealmente con el tiempo:

$$ \langle x^2(\infty) \rangle = D t $$

Haciendo de nuevo nuestro análisis dimensional, descubrimos que necesitamos una relación de la forma

$$ D \propto \frac{f^2}{\gamma^2} $$ o, deshacerse de esta tontería $f$ cosa, utilizando nuestro otro resultado anterior $$ \boxed{ D = \frac{ kT }{\gamma } } $$ que resulta ser correcto incluso si se hacen bien las cuentas (la constante de proporcionalidad es 1).

Esta fue la fórmula real por la que Einstein se hizo famoso en su artículo, relacionando la constante de difusión, algo que se puede medir en el experimento, con el coeficiente de arrastre, algo que también se puede medir a partir de un conjunto diferente de experimentos. Dando al final una teoría cuantitativa del movimiento browniano que sirvió para ayudar a solidificar la hipótesis atómica y algunos de los primeros resultados de la mecánica estadística.

Answer 2

Una partícula browniana de 2,79 micras de diámetro es 10.000 veces el diámetro de una molécula de agua y, por tanto, un billón de veces su volumen y masa; una molécula de agua no puede desplazar una partícula browniana mediante colisiones aleatorias. Así pues, el movimiento browniano es independiente de la cinética del tipo de movimiento de las moléculas de agua individuales.

Si la versión de Einstein sobre la causa del movimiento browniano es incorrecta, entonces no hay razón para considerar que el movimiento de las moléculas individuales de agua debe estar en la escala del movimiento browniano de las partículas y puede ser notablemente menor. Podría haber otro mecanismo de kinesis molecular fácilmente comprensible que seguiría explicando la difusión.

Considere las moléculas de oxígeno en un recipiente fijo a temperatura y presión normales. Imaginemos que cada molécula presenta una oscilación elástica armónica simple en torno a su centro de masa (es decir, la frecuencia de oscilación sería como la de un péndulo, independiente de la amplitud). Las moléculas a la deriva, al chocar con las moléculas vecinas, se alejarían de sus posiciones originales en direcciones aleatorias. Una molécula añadida de nitrógeno que oscile de forma coherente se vería igualmente desplazada de forma aleatoria por las colisiones con las moléculas de oxígeno oscilantes, siendo su posición cambiante (es decir, la difusión) similar a la analogía del paseo aleatorio de Einstein.

Si la kinesis molecular en los fluidos se origina a partir de una simple oscilación elástica armónica alrededor de los centros de masa moleculares (núcleos), entonces las láminas del flujo laminar pueden aproximarse a las dimensiones moleculares. A medida que el helio líquido se aproxima al cero absoluto, las láminas se aproximarían a las dimensiones moleculares, se volverían cada vez más suaves (las moléculas no oscilantes podrían actuar como cojinetes de bolas) y resbaladizas, lo que explicaría que la viscosidad del helio ultrafrío se aproximara a cero.