Caracterización de la convergencia en medida

Question

Demostrar que $f_n\to f$ en la medida en $E$ si y sólo si se le da $\varepsilon>0$ existe $K$ tal que|{$x\in E : |f(x)-f_k(x)|>\varepsilon$}|$<\varepsilon$ para $k\ge K$.

"Sólo si", la dirección de este es inmediata a partir de la definición de convergencia en medida, pero la otra dirección es menos obvio para mí.

Por el contrario, suponemos que a dado $\varepsilon >0$, hay un $K$ tal que|{$x\in E : |f(x)-f_k(x)|>\varepsilon$}|$<\varepsilon$ para $k\ge K$. Mi primer pensamiento fue enlazado a la medida del conjunto en cuestión, por ejemplo, $\frac{1}{k}$. Pero no estoy seguro de que puedo hacerlo porque en $\varepsilon$ no sólo los límites de la medida del conjunto, pero el juego también depende de la elección de $\varepsilon$. Para mostrar algo de convergencia en medida, necesito mostrar que para cada $\varepsilon$ el límite de $k\to\infty$ de las medidas de los conjuntos es de cero...

[Subquestion: es el uso de |$\cdot$| estándar para que denota la medida de Lebesgue? Yo nunca lo había visto hasta este curso. Yo siempre había visto a $m(-)$.]

[Sub-subquestion: ¿hay alguna razón en particular que se establece entre paréntesis no se muestran en el modo matemático? Los comandos \ { \ } no hacer nada...]

Answer 1

La convergencia en la medida significa que para todos$\varepsilon\gt0$,$|\{x\in E : |f(x)-f_k(x)|>\varepsilon\}|$ va a$0$, lo que significa que para todos$\varepsilon\gt0$, para todos$\delta\gt0$, existe$K$ tal que$|\{x\in E : |f(x)-f_k(x)|>\varepsilon\}|<\delta$ para todos$k\geq K$. Tomando$\delta=\varepsilon$ da el "solo si". Para ver "si", dado positivo$\varepsilon$ y$\delta$, tome$K$ tal que$k\geq K$ implica que$|\{x\in E : |f(x)-f_k(x)|>\min(\varepsilon,\delta)\}|<\min(\varepsilon,\delta)$.