Resolviendo una ecuación polinómica de 6º grado

Question

Tengo una ecuación polinómica que surgió a partir de un problema que fue de problemas. La ecuación es la siguiente:

$$-x^6+x^5+2x^4-2x^3+x^2+2x-1=0 .$$

Necesito encontrar a $x$, y específicamente debe ser un valor real donde $\sqrt3<x<\sqrt{2+\sqrt2}$, de acuerdo con el problema que más me de problemas. Sé que sería posible para mí para encontrar aproximaciones de las raíces de la ecuación, pero me gustaría saber el valor exacto de esta raíz específica (es decir, con la respuesta como un surd, con anidada surds si es necesario). Soy incapaz de hacer esto, ya que no se conoce ningún método para resolver polinomios de grado $> 4$.

Si esto no se puede hacer, ¿me podrías decir un aproximado valor decimal de $x$, o, al menos, comprobar que existe una solución dentro de la gama que me han dado (es posible que hice un error anteriormente en mi álgebra).

Answer 1

La Raíz Racional de la Prueba muestra que la única manera posible de soluciones racionales se $\pm 1$. Sustituyendo da ese $x = -1$ es uno (sino $x = 1$ no lo está), así que polinómica de la división de da $p(x) = -(x + 1) q(x)$ para algunos quintic $q$. Sustituyendo $x = -1$ da $-1$ no es una raíz de $q$, por lo que si $q$ factores $\Bbb Q$, lo hace en una irreductible cuadrática y una irreductible cúbicos. Uno puede encontrar una factorización sin demasiado esfuerzo (esto es facilitado por el hecho de que el principal y constante de los coeficientes son tanto $1$): obtenemos $$p(x) = -(x + 1)\underbrace{(x^2 - x + 1)(x^3 - x^2 - 2 x + 1)}_{q(x)} .$$ El discriminante de la ecuación cuadrática es $-3 < 0$, por lo que la verdadera raíz de que ha identificado debe ser un factor de la cúbico; desde el cúbicos no tiene raíces racionales, uno necesita usar la Fórmula de Cardano o el equivalente a extraer.

Answer 2

Mediante un complicado sistema de álgebra computacional (Mathematica 10.4), podemos obtener todas las raíces de esta ecuación como radicales. Dos raíces son complejas y el resto son todos los reales (sorprendentemente).

Module[{roots},
  roots = Solve[-x^6 + x^5 + 2 x^4 - 2 x^3 + x^2 + 2 x - 1 == 0, x];
  Transpose[{
    N[x /. roots],
    FullSimplify[Element[x, Reals] /. roots],
    x /. roots
  }]
] // TableForm

• Hay dos raíces complejas en $\frac{1}{2} \pm \mathrm{i}\sqrt{3}$.
• Hay una raíz real en $-1$.
• Los otros tres son complicadas y real: \begin{align} 1.80194\dots{} &= \frac{1}{3} \left(1+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+3 \mathrm{i} \sqrt{3}\right)}}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 \mathrm{i} \sqrt{3}\right)}\right), \\ -1.24698\dots{} &= \frac{1}{3}-\frac{7^{2/3} \left(1+\mathrm{i} \sqrt{3}\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+3 \mathrm{i} \sqrt{3}}}-\frac{1}{6} \left(1-\mathrm{i} \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 \mathrm{i} \sqrt{3}\right)}, \\ 0.445042\dots{} &= \frac{1}{3}-\frac{7^{2/3} \left(1-\mathrm{i} \sqrt{3}\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+3 \mathrm{i} \sqrt{3}}}-\frac{1}{6} \left(1+\mathrm{i} \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 \mathrm{i} \sqrt{3}\right)} \text{.} \end{align}

Muy bien, la primera es en el intervalo de tiempo que usted necesite.

Estos tres complicado raíces son las raíces de la misma polinomio @Travis se presenta.

Busca en el grupo de Galois de la estructura, creo que no podemos prescindir de los números complejos en estas expresiones.